Første forelæsning er mandag den 9. januar kl. 9.50-11.30 i Ks43 og onsdag den 11. januar kl. 10.45-12.25 i SP113
Forelæseren er Christian Berg, Københavns Universitet, Matematisk Afdeling (med kontor i H. C. Ørsted Institutet, lokale E108, tlf. 35320728)< berg@math.ku.dk>
Der er endvidere 2 øvelseshold, her starter undervisningen også i uge 2:
Hold 101 ved Jens Corfitzen< Jens.Corfitzen@econ.ku.dk> , mandag 11.40-13.20 i SPs13 og torsdag 13.30-15.10 i SP212
Hold 102 ved Kåre Madsen< k.madsen@mat.dtu.dk>, tirsdag 11.40-13.20 i SPs12 og torsdag 11.40-13.20 i SP207
Detaljer vedrørende lokaler og ændrede tider i visse uger: Se studienævnets plan.
Formålet med faget er at give indsigt i og forståelse for betydningen af abstraktion i matematik, så den studerende kan håndtere funktioner af et vilkårligt antal variable. Dette gøres gennem studiet af vektorrum og lineære afbildninger, som ifølge differentialregningen er de simpleste approksimationer til differentiable funktioner. Mere generelle funktioner end lineære er nødvendige i enhver beskrivelse af økonomiske sammenhænge. Den abstrakte teori konkretiseres i studiet af konvekse funktioner og midler til bestemmelse af funktioners maksimum og minimum.
[LA] Niels Vigand Pedersen: Lineær Algebra. Forelæsningsnoter udgivet af Matematisk Afdeling, Københavns Universitet 2000, 2. oplag 2004.
Pensum: Kap. 3 fra 3.3 til og med Kapitel 7.
[MA2] K. Sydsæter, A. Seierstad og A. Strøm: Matematisk Analyse, Bind 2, 4. udgave. Gyldendal Akademisk, Oslo 2002. Nu sælges 4. udgave 2. oplag fra 2004. Begge kan bruges.
Pensum: Kap. 4: 4.1-4.3, 4.5-4.6; Kap. 6: 6.1-6.5; Kap. 8: 8.1-8.3
I [LA] er der fundet en række trykfejl, som kan hentes her rettelse.pdf.
Analyse-bogen er skrevet på norsk, der har enkelte afvigelser fra dansk sprogbrug. Her er en liste over nogle "svære" ord:
Derivasjon = differentiation. Huk = hak. Jamn = lige. Kjerneregelen = kædereglen. Kolonnene = søjlerne. Kontinuerlig = kontinuert. Linjene = rækkerne. Matrice = matrix. Merknad = bemærkning. Newton-kvotient = differenskvotient. Nå = nu. Odda = ulige. Røff = grov. Skjæringssætningen = mellemværdisætningen. Slik = således. Snu = vende om. Stigningstal = hældningskoefficient. Tillukningen = afslutningen (evt. aflukningen).
17.1.2006: Husk at forelæsningerne mandag den 23.1.2006 foregår i SP213.
21.2.2006: Husk at forelæsningerne onsdag den 1. marts er flyttet til fredag den 3. marts
kl. 8.00-9.40 i SPs05.
3.3. Forelæsningerne måtte aflyses idag da jeg har mistet stemmen. Jeg gav MØK sekretariatet besked onsdag
om aflysningen.
31.03.2006. Jeg har nu lagt nogle besvarelser af gamle eksamensopgaver her på
hjemmesiden. Gå nederst på hjemmesiden til efter listen af gamle eksamensopgaver.
27.4.2006. Nu er eksamen forhåbentlig godt overstået. Her er en løsning på
eksamensopgaverne:
løsningsforslag
15.8.2006. Nu er reeksamen den 31.7 forhåbentlig godt overstået. Her er en løsning på
eksamensopgaverne:
løsningsforslag
Gennemgang af [LA] , Kap. 3-7 (fra 3.3) i de første 9 uger. Dernæst gennemgang af [MA2] i ca. 5 uger og til sidst 1-2 uger til repetition og træning af eksamenslignende opgaver.
På dette sted opstilles en foreløbig plan for de kommende ugers forelæsninger. Den justeres efterhånden som forelæsningerne afvikles. Nedenfor bringes en liste over de opgaver der stilles til øvelsestimerne og til den skriftlige aflevering.
UGE 2: 9. og 11. januar: [LA] 3.3-3.5. Det er en god ide at genopfriske begrebet afbildning fra Appendiks, idet permutationer, som vi skal studere, drejer sig om ombytninger af tallene 1,2,...,n altså bijektive afbildninger af den endelige mængde {1,2,...,n} på sig selv. Permutationer er nødvendige for at forstå determinanter af orden større end 3.
UGE 3: 16. og 18. januar: [LA] 3.6,3.7, 4.1, 4.2 (til Sætning 4.2.3)
UGE 4: 23. og 25. januar: [LA] Resten af 4.2, 4.3, 4.4. Jeg mangler at gennemgå Eksempel 4.4.9-det vil jeg starte med den 30. januar.
UGE 5: 30. januar og 1. februar: [LA] 4.5, 4.6, 4.7. Vi blev ikke færdig med 4.7-vi nåede kun den første side, så jeg starter med Sætning 4.7.3 i næste uge. Læg mærke til følgende lille resultat om delmængder M,N i et vektorrum V: Hvis N er en delmængde af M, så er span(N) et underrum af span(M). Prøv selv at bevise det.
UGE 6: 6. og 8. februar: [LA] Resten af 4.7, 4.8, 5.1, 5.2. Husk den sprogbrug, jeg har brugt om de variable x_1,...x_n, når man skal løse et homogent lineært ligningssystem (m ligninger med n ubekendte): Bundne og frie variable: De variable, der svarer til søjlenumrene med ledende ettaller (=trinpositionerne) i den reducerede matrix er de bundne variable. De variable der svarer til de andre søjler er de frie. Hvis der er b bundne og f frie, altså n=b+f, så er b=rg(A) og dimensionen af matricens nulrum (kerne) er f.
UGE 7: 13. og 15. februar: [LA] 5.3, 5.4, 6.1. Jeg blev ikke helt færdig med 6.1 idet jeg
mangler at udregne egenrummene i eksempel 6.1.13.
Jeg nævnte følgende regel til at finde heltallige rødder i et polynomium med
heltallige koefficienter og koefficient 1 til højestegradsleddet: Hvis et helt tal er
rod så må det gå op i konstantleddet:
Eksempel 1: x^2+x-6: Eventuelle heltallige rødder er divisorer i -6, altså +/- 1,2,3,6.
Ved efterprøvning ser man at 2 og -3 er rødder. En divisor behøver altså ikke være rod.
Eksempel 2: x^3-6x^2+9x-2: Eventuelle heltallige rødder er divisorer i -2, altså
+/- 1,2. Ved efterprøvning ses at 2 er rod. Vi kan så dividere polynomiet med x-2 og får
omskrevet polynomiet til (x^2-4x+1)(x-2). De resterende rødder kan så findes som rødder til
x^2-4x+1, som ikke har nogen heltallige rødder, men rødderne er 2+/- kvadratrod(3).
Eksempel 3: x^3+4. Ingen af de mulige divisorer i 4 er rødder. Her giver metoden altså ikke nogen hjælp.
UGE 8: 20. og 22. februar: [LA] 6.2-6.4, 7.1.
UGE 9: 27. februar og (OBS fredag) 3. marts: [LA] 7.2-7.4. OBS: Fredagstimerne blev aflyst. Mandag nåede jeg at gennemgå 7.2
UGE 10: 6. marts og 8. marts: [LA] 7.3, 7.4, 7.5 og hvis der er mere tid så repeteres fra [LA].
UGE 11: 13. og 15. marts: Vi begynder på [MA2] og jeg gennemgår 4.1-4.3. Jeg vil starte med at minde om hvad en åben og en lukket (=afsluttet) mængde er for noget og derefter vil jeg forklare gradient og retningsafledet. Et vigtigt resultat er, at gradienten er vinkelret på funktionens niveauflader. Jeg vil også forklare begrebet konveks mængde, som har mening i ethvert vektorrum. Konveksitet er de sidste 30 år blevet et nøglebegreb i matematisk økonomi efter den danske matematiker Werner Fenchels grundlæggende forelæsningsnoter fra Princeton i 1950'erne. Jeg nåede ikke at gennemgå eksempel 3 side 109-det vil jeg gøre mandag den 20. marts.
UGE 12: 20. og 22. marts. [MA2]: 4.5 og 4.6. Lidt om notationen. Hessematricen for en funktion f af n variable kan betegnes H_f(x) eller f''(x). Det ij-te element i Hessematricen er den anden partielle afledede af f med hensyn til i'te og j'te variabel. Jensen (1859-1925) er en meget berømt dansk matematiker som blev teknisk direktør for KTAS (som senere har skiftet navn til TDC).
UGE 13: 27. og 29. marts. [MA2]: 6.1, 6.2, 6.3, 6.4, 6.5. Jeg vil minde om, at et integral repræsenterer arealet under grafen, og at integration og differentiation er inverse regneoperationer. Da et integral er grænseværdier af summer (de såkaldte middelsummer) er det ikke overraskende, at man kan differentiere et integral, der afhænger af en parameter, ved at differentiere under integraltegnet, altså at d/dx(int_a^b f(x,t)dt)=int_a^b (d/dx(f(x,t))dt. Dette er et specialtilfælde af Leibniz' formel (side 160) når u(x)=a, v(x)=b for alle x, for så forsvinder de to første led da u'(x)=v'(x)=0. Jeg vil nævne Gammafunktionen og fortælle om Bohr og Mollerups vidunderlige signalement af Gammafunktionen fra 1922: Der findes kun en funktion f:]0,uendelig[->]0,uendelig[ med følgende tre egenskaber: (a): f(1)=1, (b): f(x+1)=xf(x), (c): ln f(x) er konveks. Hvis man møder en sådan funktion, må det altså være Gammafunktionen. Regnede opgave 6 fra eksamen juli 2005, men den blev først regnet færdig den 3. april.
UGE 14: 3. og 5. april. [MA2]: 8.1-8.3, og dermed er alt stof gennemgået.
UGE 15: 10. og 12. april. Jeg vil regne følgende eksamensopgaver:
Juli 2005: 1, 2, 5. (OBS 3,4 gammelt pensum)
Juni 2005: 1, 2, 4 (a,b), 5, 6. (OBS 3, 4(c,d) gammelt pensum)
Juli 2004: 3,5 (a,b) (OBS 4, 5(c,d) gammelt pensum)
UGE 16: 19. og 21. april. Jeg vil regne følgende eksamensopgaver:
Juni 2004: 2, 4(a,b,c), 6 (ObS 3, 4(d,e) gammelt pensum)
Juli 2003: 1, 2, 4, 5, 6 (OBS 3 gammelt pensum)
Maj 2003: 1, 4, 6 (OBS 2 gammelt pensum; 3,5 for teoretiske!)
Jeg nåede til og med Juli 2003 opgave 4.
UGE 17: 24. og 25. april. Jeg vil regne følgende (fra en ende af-vi må se hvor langt jeg når)
Juli 2003: 5, 6 (OBS 3 gammelt pensum)
Maj 2003: 1, 4, 6 (OBS 2 gammelt pensum; 3,5 for teoretiske!)
Juli 2002: 1, 2(i,ii), 3, 4, 6 (OBS 5 gammelt pensum)
Maj 2002: 1, 2, 5, 6 (OBS 3,4 gammelt pensum)
UGE 2, 2006, Øvelsesopgaver fra [LA]: 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 65, 66, 68
Aflevering: [LA] Hjemmeopgave 14.
UGE 3, Øvelsesopgaver fra [LA]: 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 77, 78, 79
Aflevering: [LA] Hjemmeopgaver 15,17.
UGE 4, Øvelsesopgaver fra [LA]: 50, 80, 81, 84, 87, 88, 90, 92, Blandede opgaver 11,
dog kun for n=1,2,3.
Aflevering: [LA] Hjemmeopgaver 18,19.
UGE 5, Øvelsesopgaver fra [LA]: 52, 82, 91, 93, 94, 95, 96, 98, 99, 101.
Aflevering: [LA] Hjemmeopgaver 20, 21.
UGE 6, Øvelsesopgaver fra [LA]: 97, 100, 102, 103, 104, 105, 107, 108, 109, 110.
Aflevering: [LA] Hjemmeopgaver 22, 23.
UGE 7, Øvelsesopgaver fra [LA]: 106, 111, 112, 113, 114, 115, 116, 117 (a-d), 118 samt
blandede opgaver 15.
Aflevering: [LA] Hjemmeopgaver 25, 26.
UGE 8, Øvelsesopgaver fra [LA]: 117 (e-h), 119, 120, 121, 122, 123, 124, 126 samt
ekstra opgave: Svar ja/nej til følgende 4 spørgsmål. Hvis du svarer ja så giv et eksempel,
hvis du svarer nej så begrund dit svar.
(1) Findes der en injektiv lineær afbildning f:R^3->R^5?
(2) Findes der en surjektiv lineær afbildning f:R^3->R^5?
(3) Findes der en injektiv lineær afbildning f:R^5->R^3?
(4) Findes der en surjektiv lineær afbildning f:R^5->R^3?
Aflevering: [LA] Hjemmeopgaver 27.
UGE 9, Øvelsesopgaver fra [LA]: 127, 128, 129, 130, 131, 133,
Blandede opgaver 4 og 14 (Husk at se trykfejlslisten ovenfor for der er trykfejl i
denne opgave). Endelig regnes også følgende ekstra opgave
ekstra opgave 1
Aflevering: [LA] Hjemmeopgaver 25, 26.
UGE 10, Øvelsesopgaver fra [LA]: 132 samt 134-142.
Aflevering: [LA] Hjemmeopgaver 29, 31
UGE 11, Øvelsesopgaver fra [LA]:143-146. Blandede opgaver nr. 7 samt
følgende ekstraopgave:
ekstra opgave 2.
Endelig regnes eksamensopgaver nr. 1 og 5 fra Juni 2004 (klik nederst
på hjemmesiden).
Aflevering: [LA] 32,34.
UGE 12, Øvelsesopgaver fra [MA2]: Afsnit 4.1 opg. 1,2,3,5,7; Afsnit 4.2 opg. 1,2,4,5;
Afsnit 4.3 opg. 3.
Aflevering: [MA2]: Eksamensopgaver fra Juli 2004 nr. 1,2.
UGE 13, Øvelsesopgaver fra [MA2]: Afsnit 4.3 opg. 5; Afsnit 4.5 opg. 1, 2, 3, 4
vink: Brug Sætning 4.5.4, opg. 6, 8, 9.
Afsnit 4.6 opg. 1 samt følgende ekstra opgave
ekstra opgave 3
Aflevering:
ekstra opgave 4
UGE 14, øvelsesopgaver fra [MA2]: Afsnit 6.1 opg. 1(a), (b); opg. 3 (a), (c).
Afsnit 6.4 opg. 1 (a), (b). Afsnit 6.5 opg. 1 og 5. Afsnit 8.2 opg. 2, 3. Afsnit 8.3
opg. 2, 4.
Aflevering: Afsnit 8.1 opg. 3.
Der er ikke flere normale øvelser, men Jens holder ekstra timer den 20. april fra kl. 9.50 og Kaare holder ekstra timer den 25. april fra kl. 11.40 efter Christians ekstra timer fra 9.50-11.30 i SP205.
3 timers skriftlig prøve med karakter efter 13-skalaen.
Tidligere eksaminer var 4 timers skriftlige prøver indenfor alle de emner der indgik i efterårets og forårets pensum.
h1aug92 h1maj95 h1aug95 h1maj96 h1aug96 h1maj97 h1aug97 h1maj98 h1aug98 h1maj99 h1aug99
h1maj00 h1jul00 h1maj01 h1jul01 h1maj02 h1jul02 h1maj03 h1jul03 h1dec03 h1jun04 h1jul04 h1dec04 h1juni05 h1juli05 laapril06 lajuli06
Besvarelse juni 2005 1
Besvarelse juli 2005 1
Besvarelse april 2006 1
Besvarelse juli 2006 1
Besvarelse af udvalgte opgaver