Vidste du ... at du altid skal skifte mening?

Du er deltager i et TV show, og du står foran tre døre. Bag den ene dør er der en bil og bag de to andre er der geder. Du vælger nu en dør, hvorefter værten åbner en af de andre døre og viser dig en ged. Han spørger nu, om du vil holde fast ved din valgte dør eller om du vil skifte til den trejde dør.

Ovenstående situation kaldes Monty Hall Problemet (efter en amerikansk tv-vært) og sandsynlighedsregningen viser, at det altid kan betale sig at vælge den anden dør, når man får muligheden. Bemærk, at det altid er muligt for værten at åbne en dør med en ged, fordi der er to døre med geder bag.

Der er en bil bag netop én af de tre døre, og der er lige stor sandsynlighed for at finde bilen bag hver af de tre døre. Dermed er der 1/3 chance for at man rammer bilen i første gæt og undlader at skifte, når man får muligheden.

Men hvad sker der, hvis man skifter dør, når værten har afsløret en ged? For at gøre det lettere at beskrive problemet, nummererer vi dørene 1, 2 og 3 - og vi går ud fra at spilleren først vælger dør 1 (det ændrer ikke ved generaliteten af beviset). Bemærk, at vi selvfølgelig ikke ved hvor bilen er, førend spillet er færdigt, og dermed heller ikke ved, om vi har valgt rigtigt i første omgang. Herefter åbnes en af de andre døre, hvor der gemmer sig en ged. Nedenstående skema viser sandsynlighederne for at vinde, hvis man skifter dør, når man får muligheden:

Dermed ser vi, at der er 1/3 + 1/3 = 2/3 sandsynlighed for at man vinder bilen, hvis man vælger at skifte dør efter at værten har afsløret en ged. Hvis man ikke skifter, er sandsynligheden for at vinde  kun 1/3, så det kan altid betale sig at skifte dør. Held og lykke!

Resultatet er overraskende for de fleste, og det er et af mange eksempler på at det kan være farligt at stole på sin intuition, når det kommer til sandsynligheder. Skulle du ønske at læse mere, så besøg The Monty Hall Problem.

Clipart courtesy FCIT