Classification of Fusion Systems

I dette speciale studerer vi teorien om fusionssystemer   set fra et gruppeteoretisk synspunkt. Specifikt ser vi på klassifikationer af   mættede fusionssystemer over visse $p$-grupper. Først introducerer vi den   grundlæggende teori om fusionssystemer, og vi viser ækvivalensen af to   forskellige definitioner af et mættet fusionssystem. Vi viser, at   fusionskategorien over en endelig gruppe er mættet, og vi beviser   Alperin-Goldschmidts fusionssætning. Gennem en komplet klassifikation af   mættede fusionssystemer over diedergruppen af orden 8 viser vi, at der op til   isomorfi findes netop tre mættede fusionssystemer over $D_8$, og de er alle   realisérbare. Vi fokuserer herefter på simple fusionssystemer og viser, at   hvis der findes et simpelt fusionssystem over en ikke-abelsk $p$-gruppe $S$,   der har mere end en abelsk undergruppe af index $p$, så er $S$ ekstraspeciel   af orden $p^3$ og eksponent $p$. Afslutningsvis undersøger vi situationen,   hvor $S$ har en unik abelsk undergruppe af index $p$. Vi opbygger den teori,   der er nødvendig for at kunne klassificere de simple fusionssystemer over   $S$, og med antagelsen om, at $A$ ikke er $\mathcal{F}$-essentiel, samt at   der findes en $\mathcal{F}$-essentiel undergruppe af formen $Z_2(S)\langle   x\rangle$, hvor $x\in S\backslash A$, giver vi en klassificering af de simple   fusionssystemer over $S$ i form af en beskrivelse af den ydre automorfigruppe   af $S$, de $\mathcal{F}$-essentielle undergrupper og de ydre automorfigrupper   af disse.

In this thesis we study the theory of fusion systems from   a group theoretic point of view. More specifically, we look at   classifications of saturated fusion systems over certain $p$-groups. First,   we introduce the basic theory of fusion systems and prove the equivalence of   two definitions of a saturated fusion system. We show that the fusion   category of a group is saturated, and we prove Alperin-Goldschmidt's Fusion   Theorem. Through a complete classification of the saturated fusion systems   over the dihedral group of order $8$, we show that up to isomorphism there   are exactly three saturated fusion systems over $D_8$ and they are all   realizable. Then we focus on simple fusion systems and show that if there is   a simple fusion system over a nonabelian $p$-group $S$ that has more than one   abelian subgroup of index $p$, then $S$ is extraspecial of order $p^3$ and   exponent $p$. Finally, we consider the case where $S$ has a unique abelian   subgroup $A$ of index $p$. We build up the theory needed to classify the   simple fusion systems over $S$, and assuming that $A$ is not   $\mathcal{F}$-essential and that there exists an $\mathcal{F}$-essential   subgroup of the form $Z_2(S) \langle x\rangle$ where $x\in S\backslash A$, we   give a classification of the simple fusion systems over $S$ describing them   in terms of the outer automorphism group of $S$, the $\mathcal{F}$-essential   subgroups and the outer automorphism groups of these.

Vejleder: Ellen Henke

Censor: Kasper K.S. Andersen