Simplicitet og entydighed af spor for reducerede grupper-C*-algebraer

Specialeforsvar: Rasmus Sylvester Bryder

Titel: Simplicitet og entydighed af spor for reducerede gruppe-C*-algebraer

Abstract: En lokalkompakt gruppe G siges at være C*-simpel (hhv. have entydigt spor) hvis dens reducerede gruppe-C*-algebra C*_r(G) er simpel (hhv. har entydigt spor). Efter Powers’ artikel fra 1975, hvori han viste at den frie gruppe af rang 2 var C*-simpel og havde entydigt spor (ud fra et forslag fra Kadison), opdagede de la Harpe, blandt andre, at dele af Powers’ bevis kunne anvendes på mange andre grupper til at konkludere C*-simplicitet og entydighed af spor for disse. I dette speciale undersøger vi konsekvenserne af C*-simplicitet og entydighed af spor på (hovedsageligt) diskrete grupper. En af de mest interessante af disse er, at den eneste normale, amenable undergruppe af en gruppe, der enten er C*-simpel eller har entydigt spor, er den trivielle undergruppe. Det er stadig et uløst problem hvorvidt dette gælder den anden vej generelt. Vi giver også forskellige tilstrækkelige betingelser for at en diskret gruppe er C*-simpel med entydigt spor, af hvilke hovedparten opnås ved at kigge på klasser af grupper med specielle kombinatoriske egenskaber. Den første af disse, der gennemgås, er den af de såkaldte Powers-grupper,
oprindeligt defineret af de la Harpe i 1985. Siden da har andre, heriblandt Boca, Nitica og Promislow, taget de egenskaber, der er essentielle for at bibeholde C*-simplicitet og entydighed af spor, for Powers-grupper ud for derpå at definere nye tilsvarende begreber, og vi undersøger fordelene ved at arbejde med disse varianter. Endvidere diskuterer vi ultrasvage Powers-grupper (defineret af Bédos) og deres forbindelse til reducerede krydsprodukter, og vi redegør også for visse stabilitetsegenskaber for C*-simplicitet og entydighed af spor. Specialet rundes af med et bevis for, at der for n\geq 2 gælder, at
undergrupper af den projektive specielle lineære gruppe PSL(n,\mathbb{R}) som
indeholder PSL(n,\mathbb{Z}) er C*-simple med entydigt spor.

Vejledere:  Magdalena Musat og Mikael Rørdam
Censor: Jacob Hjelmborg, SDU