Specialeforsvar: Lise Volsing Smith

Resume:

I dette speciale vil vi bevise Fermats Sidste Sætning for regulære primtal, det vil sige, der er ingen ikke-trivielle løsninger $x,y,z \in \Z$ til $x^p + y^p = z^p $ for alle regulære primtal $p \geq 3$. Lad et primtal $p$ og en $p$'te enhedsrod $\zeta_p$ være givet. Vi vil arbejde i det $p$'te cirkeldelingslegeme $\Q(\zeta_p)$ og i $\mathcal{O}_{\Q(\zeta_p)}$, ringen af algebraiske heltal i $\Q(\zeta_p)$. Selvom vi ikke altid har entydig faktorisering i $\mathcal{O}_{\Q(\zeta_p)}$, har vi entydig faktorisering af idealer. Dette og andre vigtige egenskaber for $\mathcal{O}_{\Q(\zeta_p)}$, for eksempel hvordan idealet $(p) \unlhd \mathcal{O}_{\Q(\zeta_p)}$ factoriseres, vil føre til at bevise Fermats sidste sætning under visse antagelser. Disse antagelser er opfyldt for regulære primtal.

Regularitet af et primtal $p$ er defineret ved idealklassegruppen for $\Q(\zeta_p)$. Der er en ækvivalensrelation på idealerne i $\mathcal{O}_{\Q(\zeta_p)}$, og idealklassegruppen består af disse ækvivalensklasser med multiplikation som komposition og klassen af hovedidealer som neutralelement. Lad $h(\Q(\zeta_p))$ betegne ordenen af denne gruppe, så siges $p$ at være regulær hvis $p \nmid h(\Q(\zeta_p))$. Ved brug af klassetalsformlen viser vi, at $h(\Q(\zeta_p)) = h_0h^*$ med $h_0, h^* \in \N$.

Bernoullitallene $B_m \in \Q$ , $m \geq 0$, introduceres og vi viser, at $p \nmid h^*$ hvis og kun hvis $p$ ikke går op i tællerne i $ B_2,B_4 \ldots ,B_ {p-3}$. Det er et resultat, at hvis $p \nmid h^*$ så $p \nmid h_0$, et bevis for dette skitseres. Dette giver, at det er tilstrækkeligt, at $p\nmid h^*$ for $p$ at være regulær.

Endeligt beregner vi nogle af Bernoulli tallene, som fører til regularitet af primtallene $5,7,11,13,17$ og $19$.

Vejleder: Ian Kiming

Censor: Tom Høholt, DTU