Selvadjungerende udvidelser af symmetriske operatorer

Specialeforsvar ved Sólgerd Johnsdóttir Færø

Titel: Selvadjungerende udvidelser af symmetriske operatorer

Resume: Dette speciale omhandler den generelle teori for selvadjungerede udvidelser af tæt definerede, lukkede, symmetriske operatorer på et Hilbertrum, efterfulgt af nogle eksempler, hvor den generelle teori bliver anvendt. Teorien for defekte indeks og defekte underrum udvikles og bruges til at karakterisere de lukkede, symmetriske udvidelser af de tæt definerede, lukkede, symmetriske operatorer. De defekte indeks bliver også anvendt til at afgøre, hvornår de symmetriske udvidelser er selvadjunerede, ved at se på hvornår indeksene er identiske. Når indeksene er identiske, bliver de selvadjungerede udvidelser karakteriseret ved partielle isometrier mellem de defekte underrum. Derudover bliver von Neumann kriteriet for eksistens af selvadjungerede udvidelser givet og bevist. Som et eksempel på den generelle teori ser vi på den endimensionelle Schrödinger operator på halvlinjen, og Weyls limit point-limit circle kriteriet bliver bevist. Dernæst ser vi på et tredimensionalt eksempel af punkt-interaktioner, hvor vi betragter Laplace operatoren restringeret til funktioner med kompakt support væk fra nul. Ved at anvende den generelle teori når vi frem til, at de defekte indeks er identiske, og vi karakteriserer alle de selvadjungerede udvidelser. Derudover bestemmer vi resolventmængden og spektrumet af de selvadjungerede udvidelser, hvor vi finder frem til, at de selvadjungerede udvidelser kan have en negativ egenværdi.

Vejleder:  Jan Philip Solovej
Censor:    Michael Pedersen, DTU