A lower bound for the real J-homomorphism

Specialeforsvar ved Pernille Lindberg Bruhn

Titel: A lower bound for the Real J-homomorphism

Abstract: A Lower Bound for the Real J-homomorphism;  område er at disse ikke afhænger af sfærens dimension for en høj nok dimension. Disse kaldes de stabile homotopigrupper for sfærer og selvom de er blevet udregnet for relativt små dimensioner er de generelt set ikke bestemt. På den anden side er homotopi-grupperne for den ortogonale gruppe og den stabile version meget velkendte. Dette speciale følger overordnet Frank Adams' artikel J(X)-IV, men er mere selvstænding. VI begynder med at definere den nulte K-gruppe for en kompakt Hausdorffrum from grothendieck-konstruktionen af isormorfiklasser af kom-plekse vektorbundter. Den reducerede K-gruppe for et rum med base-punkt er herefter defineret og vi viser at denne kan udvides til en multiplikativ generaliseret kohomologi-teori ved brug af bott-periodicitet. Herefter introduceres adams-operationerne, som er afbildninger på K-teori, der er definerede fra ydre prukt af moduler. Vi viser at disse er homomorfier og udregner dem for en generator for K-teorien af en sfære af dimension 2n. For det projektive bundt definerer vi thom-komplekset of thom-klassen. Multiplikation med thom-klassen giver os thom-isomorfien. Ved hjælp af thom-isomorfien og adams-operationerne definerer vi de kannibalistiske klasser og derefter e-invarianten fra adams-operationerne. Herefter defineres den komplekse J-homomorfi fra homotopigrupperne for den stabile unitære gruppe ind i de stabile homotopigrupper for sfærer. Efter at have udregnet de kannibalistiske klasser og benyttet at afbildningskeglen er et thom-kompleks udregner vi e-varianten og finder en nedre grænse for ordnen af billedet af den komplekse J-homomorfi. Ved at definere K-teori over reelle vektor bundter udregner vi også en nedre grænse for ordnen af billedet af den reelle J-homomorfi fra homotopigrupperne fra den stabile ortogonale gruppe ind i de stabile homotopigrupper for sfærer

Vejleder: Dustin Clausen
Censor:   Martin Raussen