Hilbert's Irreducibility Theorem and its applications in Inverse Galois Theory

Specialeforsvar ved Magnus Christopher Skude

Titel: Hilbert's Irreducibility Theorem and its applications in Inverse Galois Theory

Resume: Dette speciales omhandler hovedsageligt emnet omvendt Galois teori. Der er op til flere måder at takle dette problem på, og i dette speciale vil vi bruge Hilbert's Irreducibility Theorem. Vi starter specialet med at give og bevise denne sætning over de rationale tal og derefter vise sætningen også gælder over ethvert algebraisk tal legeme. Vha. Kronecker's Resolvent, kan vi til sidst bevise en mere specialiseret form af Hilbert's Irreducibility Theorem, som vil være vores hoved redskab i omvendt Galois teori. Vi vil derefter realisere nogle af de mere kendte grupper som Galois grupper over de rationale tal. Vi starter med den symmetriske gruppe og dens under gruppe, den alternerende gruppe. Herefter realisere vi Frobenius gruppen, som er en opløselige gruppe med stærke bånd til den dihedrale gruppe af grad p, hvor p er et primtal. Til sidst realisere vi Quaternion gruppen og bevise den kendte sætning, Witt's Theorem, som deriblandt kan hjælpe os med at realisere den dihedrale gruppe af grad 4. Derudover kommer vi også med et eksempel på et ikke-Hilbert legeme, som er et legeme hvor Hilbert's Irreducibility Therem ikke gælder. 

Vejleder:   Christian U. Jensen
Censor:     Niels Lauritzen, Aarhus Universitet