Spectral theory with applications to quantum mechanics

SPECIALEFORSVAR ved Maja Andersen 

Titel: Spectral Theory With Applications to Quantum Mechanics

Resume: Specialet diskuterer spektralteori for begrænsede og ubegrænsede operatorer på Hilbert-rum. Forbindelsen til kvantemekanikken vil blive baseret på fire aksiomer fra kvante-mekanik, som vil vise at operatorer, der repræsenterer fysiske observable, er selv-adjungerede. Specialet vil indeholde et bevis for spektralsætningen for selvadjungerede operatorer og vil diskutere det diskrete og essentielle spektrum og funktional kalkule. Beviset for spektral-sætningen er baseret på mål med projektionsværdier og Nevanlinna teori for komplekse funktioner. Som en anvendelse vil specialet indeholde min-max sætningen, som karakteriserer de diskrete egenværdier under det essentielle spektrum. Specialet vil også indeholde Kato-Rellichs pertubationssætning, der viser at selv-adjungerede operatorer perturberet af (små) relativt begrænset operatorer er selv-adjungerede. Ved brug af Kato-Rellich sætningen, vil vi etablere kriterier for Schrödinger operatorer, hvormed disse er selvadjungerede. Spektra for Schrödinger operatorer vil blive analyseret ved at bevise Lieb-Thirring uligheden for summen af egenværdierne, som bl.a. fastlægger, at den negative del af spektret for Schrödinger operatorer med passende restriktioner på den potentielle energi, er diskret. Dette vil herefter blive anvendt på hydrogenatomet, hvor vi vil vise, at Lieb-Thirring uligheden giver et godt estimat for egen-værdierne sammenlignet med den formel, vi kender fra kemi 

Vejleder: Jan Philip Solovej
Censor:   Søren Fournais, Aarhus Universitet