Klassebesøg – Københavns Universitet

Forside
Resize Print Bookmark and Share

Institut for Matematiske Fag > Formidling > Klassebesøg

Besøgstjeneste for gymnasieklasser

Institut for matematiske fag ved Københavns Universitet modtager gerne gymnasieklasser til faglige appetitvækkere i matematik, herunder statistik, matematisk økonomi og forsikringsmatematik.

Dersom du kunne tænke dig at besøge os med din klasse bedes du udfylde skemaet.

Til foredrag mærket med * findes skriftligt materiale som klassen kan arbejde med før og efter besøget herinde.

For eventuelt yderligere oplysninger kontakt Sara Ramskov , Institut for Matematiske Fag, Universitetsparken 5, 2100 København Ø. 

Rette linier i krumme rum

Selv om de fleste nok føler, at de ved, hvad en ret linie i planen eller i rummet er, vil vi starte med en kort gennemgang af dette. Derefter vil vi søge at generalisere begrebet til et krumt rum -- i første omgang til en (krum) flade i rummet. Derefter kan foredraget gå mere i detalje, afhængigt af deltagernes interesser, med enten

  • Euklids parallelpostulat og de nye geometrier
  • Trekanters vinkelsum i krumme rum, krumningsstørrelser og den "indre geometri".
Hans Plesner Jakobsen

De tre klassiske problemer

Cirklens kvadratur, vinklens tredeling og terningens fordobling stod i århundreder centralt i matematikken. Problemerne blev formuleret inden for den græske geometri, men deres uløselighed med passer og lineal blev først vist i 1800-tallet med algebraiske og analytiske metoder.

I foredraget vil vi bl.a. komme ind på ægypternes bestemmelse af cirkelarealet, græske løsninger på de tre problemer (med andre midler end passer og lineal), arabernes opstilling af tredjegradsligningen svarende til tredelingsproblemet, løsning af tredjegradsligningen i renaissancen og en antydning af uløselighedsbeviserne.

Jesper Lützen

Archimedes

Archimedes var nok antikkens største matematiker. Hans arbejder omhandler statik, hydrostatik samt areal- og volumenbestemmelser. Faktisk fortæller han i et brev, at han fandt flere af sine resultater om arealer og voluminer ved at benytte vægtstangsreglen. Han beviste derefter resultaterne ved hjælp af den såkaldte exhaustionsmetode, der er en slags forløber for integralregningen. I foredraget vil jeg give eksempler på Archimedes' metoder og fortælle nogle af de gode anekdoter om hans liv, hans krigsmaskiner og hans voldsomme død.

Jesper Lützen

Differential- og integralregningens historie

Det siges normalt, at Newton og Leibniz ``opfandt'' differential- og integralregningen. Mange af deres forgængere i 1600-tallet, f.eks. Fermat, Descartes, Pascal og Wallis foregreb dog flere af de centrale idéer. I foredraget vil vi se på nogle af disse tidlige areal-, tangent- og max-min-metoder, før vi vender os mod Newton og Leibniz' metoder. Til slut vil jeg kort antyde den efterfølgende udvikling af differentialregningens grundlag.

Jesper Lützen

Primtal

Primtallene er nogle af de mest fundamentale matematiske objekter, kendt helt fra oldtiden og stadig centrale i mange grene af moderne matematik.
Vi vil i foredraget fortælle om forskellige gamle og moderne problemstillinger, såsom:
Der er uendeligt mange primtal, men hvordan er de fordelt?
Hvordan kan man afgøre, om et stort tal er et primtal eller ej (primtalstestning)?
Primtal af specielle former: Mersenne og Fermat primtal.
Uløste problemer i forbindelse med primtal, f.eks. primtalstvillinger og Goldbachs formodning.
Moderne matematik, f.eks. primtal og Fermats sidste sætning med videre.
Foredraget vil forudsætte et forberedende forløb hvor tilhørerne får lejlighed til at lære begreberne 'restklasser' og 'kongruensregning' at kende.

Ian Kiming

Komplekse tal og deres historie

Når matematikere møder umulige opgaver udvider de ofte deres univers så opgaven kan løses alligevel. For eksempel kan et større tal ikke trækkes fra et mindre inden for de positive tal. Derfor udvider vi taluniverset med de negative tal. På samme måde leder den umulige ligning os til at indføre de komplekse tal af formen . Disse tal har mange smukke egenskaber. Ikke alene har ligningen nu løsningerne , men man kan vise at enhver n’te grads ligning har n løsninger. I foredraget skal vi se hvordan man kan regne med disse nye tal og hvordan man kan repræsentere dem geometrisk. Endelig skal vi følge deres historie fra 1500-tallets tænkte størrelser via 1700-tallets formelle udtryk til 1800-tallets tal i en talplan.

Jesper Lutzen

Firefarveproblemet

I 1852 stillede Francis Guthrie følgende simple spørgsmål: Er det rigtigt at fire farver er nok til at farvelægge et vilkårligt kort? Nogle år senere viste Heawood at fem farver i hvert fald var nok, men det tog et århundrede og en computer for at finde svaret (som er ja!) på firfarverproblemet. Problemet kan også stilles for mere generelle kort.
Beviset for femfarve-problemet kan gennemgås - det bruger Euler karakteristikken for grafer og lidt kombinatorik.

En illustration af firefarvesætningen er Danmarks kommunekort (med 4 farver!):

http://kommune.eniro.dk/danmarkskort/

 

Nathalie Wahl

Talteori

Hvorfor har ligningen
x2 + y2 – 15 z2 = 7
ingen heltalsløsninger?
Jeg vil i foredraget fortælle om en teori (ganske enkel), som kan begrunde påstanden.
Det er også let se, at for hele tal a, b og s er
x = s(a2 - b2), y = 2sab og z = s(a2 + b2)
heltalsløsninger til ligningen
x2 + y2 = z2
Er alle løsninger af denne form. Svaret er ja og en bevisskitse vil blive givet.
Foredraget kan følges op af endnu et besøg, hvor vi undersøger om der er ikke trivielle heltalsløsninger til ligningen
x4 + y4 = z4.

Søren Jøndrup

Projektiv Geometri

Der er rette linier i planen, der ikke skærer hinanden (parallelle linier). Hvordan retter man op på denne defekt. Jeg vil beskrive en ’’geometri’’ , som indeholder den sædvanlige plane geometri og hvor der for ethvert par af forskellige linier gælder, at de mødes i netop ét punkt.
Man kan så benytte denne nye geometri til at vise geometriske sætninger fra den kendte plane geometri.
F. eks. Et ydre lighedspunkt for to cirkler er skæringen mellem deres fælles tangenter. (Cirklerne skal være placeret passende.) For 3 cirkler får man altså 3 ydre lighedspunter, der viser sig at ligge på samme rettte linie.

Søren Jøndrup

Brug af karakterskalaen i gymnasiet. En statistisk analyse

Ved hjælp af deskriptive statistiske teknikker belyses det, om karakterskalaen bruges ens i de forskellige fag i gymnasiet. Det diskuteres, om det er fagligt forsvarligt at tage gennemsnit af studentereksamenskaraktererne. Og der gives eksempler på, hvilke metoder man kan bruge, hvis man ud fra kendskab til niveau og spredning på karaktererne i de enkelte fag vil optimere sit studentereksamensgennemsnit.

Inge Henningsen

Sæbeboblers matematik

Hvad har sæbebobler med matematik at gøre? Jo f.eks. kan grunden til, at sæbebobler er runde, forklares ved, at netop den runde flade er den mindste, der omslutter et givent rumfang.

Men historien slutter ikke der. Der er mange spørgsmål om sæbebobler, der kan formuleres rent matematiskt: Hvorfor ser to sammenklistrede sæbebobler ud som de gør? Hvilke figurer kan man i det hele taget lave ved brug af en sæbevæske? Det sidste spørgsmål blev undersøgt af Plateau i sidste århundrede og han beskrev de mulige sæbefilmsfigurer.

Matematikere arbejder stadig på at forstå, hvorfor netop Plateaus flader er de rigtige.

Man studerer også sæbeskum (eller for den sags skyld enhver anden slags skum ), altså mange sammenklistrede bobler.

For skum klemt inde mellem to glasplader gælder den simple von Neumann lov: Bobler med 5 eller færre nabobobler bliver mindre med tiden og bobler med 7 eller flere nabobobler vokser, mens bobler med 6 naboer hverken vokser eller bliver mindre.

Et par film der viser dette kan ses her. (Tak til Joel Stavans fra Weizmann Instituttet i Israel, som har produceret disse film og givet os tilladelse til at bruge dem her.)

Den matematiske forklaring er så elementær, at vi kan give det meste af den i foredraget.

Jan Philip Solovej

Differentialligninger og deres anvendelser

Et af de mest avancerede matematiske emner man møder i gymnasiet er differentiallignigner. I foredraget her vil vi begynde med de differentialligninger, man ser i gymnasiet og gradvist se på mere indviklede. Differentialligninger er nok den gren af matematikken, der anvendes mest. Stort set alt, hvad vi ser omkring os (f.eks. bygninger, biler, elektroniske instrumenter), bygger i større eller mindre grad på studiet af differentialligninger. Andre eksempler på anvendelser af differentialligninger er

  1. Bølgeudbredelse
  2. Epidemiers udvikling
  3. Populationsdynamik
  4. Atomers stuktur
  5. Prisen på det finansielle markeds optioner
  6. Einsteins generelle relativitetsteoris ligninger for universets struktur.

I foredraget vil vi skrive nogle af disse ligninger ned (det bliver dog nok svært med nogen af dem f.eks. Einsteins ligninger). Vi vil også nævne nogen af de problemer, der stadig optager matematikere ved studiet af differentialligninger. F.eks. om ligningerne faktisk har pæne løsninger, og hvis ikke, hvad det så betyder for anvendelser.

Jan Philip Solovej

Polynomier: Simple funktioner, der fører til dyb matematik

Foredraget fortæller om hvordan løsning af ligninger af første, anden, tredie,... grad er mulig og hvordan det har ført til at vores talsystem er udvidet fra hele tal over brøker, irrationale tal til reelle og komplekse tal. Derudover fortælles lidt om polynomial iteration, altså f.eks. at udregne p(0), p(p(0)), p(p(p(0))),... for et polynomium p(x), og se på hvad det kan føre til. Det fører bl.a. til Mandelbrotmængden, der er så raffineret, at et forstørrelsesglas afslører nye ting.

Christian Berg

Matematikken bag Google

En væsentlig parameter i internetsøgemaskinen Googles succes er det patenterede PageRank-system, der benytter den interne geometri i world wide web til at vurdere hvilke sider, der er "vigtigere" end andre, og dermed kunne vise de vigtigste sider først. Groft sagt er ideen, at man estimerer sandsynligheden for at lande på en given side ved en lang og vilkårlig "surf-session" ud fra en tilfældig hjemmeside. Hvis sandsynligheden er relativt høj, så må det være fordi der er andre vigtige hjemmesider, der linker til den givne side.

Den matematiske baggrund for metoden involverer Perron-Frobenius' sætning, og kan forklares alene på baggrund af begrebet matrixmultiplikation, som tænkes indført undervejs. Der stilles således ingen deciderede krav til tilhørernes forudsætninger, omend det vil kunne løfte niveauet en smule hvis jeg kan forudsætte kendskab til betingede sandsynligheder og Bayes' formel.

Baggrundsmateriale: Cleve's corner.

Søren Eilers

Uendelige summer.

Hvis man lægger uendelig mange tal sammen får man somme tider et endeligt tal. Det berømteste eksempel er nok
  1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + …=1

som kendes fra Zenons paradoks. Et andet eksempel er
  1/10 + 1/100 + 1/1000 + 1/10000 + …= 1/9

som udtrykker at 1/9 fremstilles ved decimabrøken 0.1111. Men hvordan kan vi egentlig tillade os at lægge uendelig mange tal sammen og hævde det giver et endeligt tal? Hvis vi prøver at udføre regnestykket bliver vi jo aldrig færdige.

I foredraget gennemgås definitionen af summen af en uendelig række tal. Desuden ses på nogle eksempler. De to ovennævnte rækker er eksempler på den såkaldte geometriske række
   a + a2 + a3 + a4 +…

hvor a er et reelt tal, i eksemplerne 1/2 og 1/10. Man kan udlede en formel for summen, nemlig a/(1-a), og den gælder hvis |a|<1.

Et eksempel, som ikke er en geometrisk række, er
  1/2 + 1/6 + 1/12 + 1/20 +…,

hvor nævneren er 1 . 2, 2 . 3, 3 . 4, 4 . 5 osv. Hvad er summen?
Nogle uendelige summer giver overraskende resultater, for eksempel summen af alle reciprokke kvadrattal
  1/1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 +…

I 1731 opdagede L. Euler at det giver π 2/6. Det var fuldstændig uventet, at tallet π skulle dukke op i den forbindelse.

Henrik Schlichtkrull

Hvad bør en option koste?

En option giver ret, men ikke pligt, til at gøre "et eller andet", fx købe en aktie til en på forhånd aftalt kurs.

Der handles optioner i "ren finansiel form" for svimlende beløb på alverdens børser, hvor de giver mulighed for både forsikring og spekulation. Men også ganske mange andre steder finder vi optionslignende egenskaber (husejeres mulighed for førtidig låneindfrielse, pensionskassers rentegarantier, incitamentsbaseret aflønning, medicinal/biotek-virksomheders mulighed for at afbryde forskningesprojekter undervejs, ...)

En option har tydeligvis en positiv værdi for dens ejer. Men hvilken og hvorfor?

I foredraget vil vi først se på en simpel model og forklare, hvordan finansielle optioner her kan værdiansættes. Senere illustreres det hvordan -- med computeren som uvurderligt hjælpemiddel -- mere avancerede og realistiske modeller kan opbygges og behandles.

Mere information

Rolf Poulsen

Halthed af heste: en statistisk analyse

Accelerationsmålinger bruges sommetider til at undersøge hvor symmetrisk en hest bevæger sig. Raske heste bevæger sig mere symmetrisk end halte heste, og ideen er derfor at bruge graden af asymmetri som et objektivt mål, eller en score, for graden af halthed. I foredraget ser vi på sådanne accelerationsdata og udleder en symmetriscore. Vi bruger normalfordelingen til at lave en statistisk model for den naturlige variation hos raske heste og undersøger om scoren kan bruges til diagnosticering af halthed.

Helle Sørensen

Brownsk bevægelse -- fra pollenkort til matematisk blomst

Hvad er Brownsk bevægelse? Det er dels en observerbar bevægelse af mikroskopiske partikler i en opløsning og dels en matematisk teori til beskrivelse af bevægelserne. Botanikeren Robert Brown beskrev som den første bevægelserne i 1828 og Einstein udleder i 1905 en matematisk teori som en konsekvens af eksistensen af atomer. Teorien er grundlæggende en statistisk teori, der ikke beskriver den præcise bane for en enkelt partikels bevægelse, men derimod fordelingen af mange partiklers bevægelser. I foredraget vil jeg skitsere den historiske baggrund for det matematiske objekt vi i dag kalder Brownsk bevægelse, og jeg vil forklare hvad matematisk Brownsk bevægelse er for en størrelse. Vi kommer også ind på flere af de moderne anvendelser indenfor statistik og økonomi -- og så vil jeg afsløre hvad det hele har at gøre med kvadratiske rester og fliselægningen i Hafnias gamle forhal.

Niels Richard Hansen

Forsikring og investering - er det matematik?

Vi præsenterer en række matematiske problemstillinger i forbindelse med aftaler som du kan indgå på det finansielle marked og på forsikringsmarkedet. Vi fokuserer på en realistisk aftale der indeholder flere forskellige typer risici, nemlig 'helbredstilstanden' for både dig og økonomien på et fremtidigt tidspunkt. Med udgangspunkt i denne aftale diskuterer vi de matematiske principper, der ligger til grund for dens værdi. Vi diskuterer også nogle af de valg, som du og andre involverede parter eventuelt kan foretage inden for kontrakten og kigger så på hvilken indflydelse disse valg kan/skal have på værdien.

Mogens Steffensen

Primtal

Primtallene har været kendt og studeret ihvertfald siden antikken. Deres definition og basale egenskaber er lette at forstå! Alligevel er der overraskende mange ubesvarede spørgsmål som knytter sig til primtallene. For eksempel: Er der uendeligt mange tvillingeprimtal? Kan ethvert lige tal skrives som en sum af 2 primtal? Er Riemann hypotesen - som giver et præcist svar på hvor mange primtal der findes med numerisk værdi mindre end et tal x - sand?
Jeg gennemgår nogle af de kendte egenskaber ved primtallene og diskuterer nogle af de ubesvarede spørgsmål om dem. Foredraget kan drejes i forskellige retninger afhængigt af niveau og ønsker.

Morten Risager

Regression

Regression handler om at beskrive sammenhænge mellem variable. Foredraget tager udgangspunkt i 2-3 datasæt med biologiske problemstillinger og jeg bruger disse data som omdrejningspunkt til at diskutere lineær regression, ikke-lineær regression og evt. logistisk regression. Der vil også være mulighed for at diskutere relevante data fra elevernes forsøg fra undervisningen i biologi, fysik, idræt eller lignende.

Helle Sørensen

 Er der huller i tallene?

Forløbet sigter mod en dybere forståelse af egenskaber ved de reelle tal. Udgangspunktet er de rationale tal - altså tal, hvis decimalbrøksfremstilling er endelig eller periodisk. Decimalbrøksfremstillinger som ikke er periodiske, fx

    0,101001000100001000001...

hvor der er længere og længere mellem 1-tallene, er ikke på samme måde umiddelbart forståelige. Repræsenteres der et tal? Eller kunne det tænkes at denne uendelige decimalbrøksfremstilling peger på et hul i tallinien? Vi skal studere dette problem, bl.a. ved hjælp af computerprogrammet Maple.

Forløbet består af indledende diskussion hjemme på gymnasiet ud fra et oplæg, 2 besøg på IMF med forelæsning (1 time) og computerøvelser (2-3 timer) samt hjemmearbejde mellem de to besøg på IMF.

Forudsætninger: Mapleerfaring tilstrækkeligt til at kunne eksperimentere med arbejdsark, der allerede er udformet. 

Niels Grønbæk