Klassebesøg – Københavns Universitet

Forside
Resize Print Bookmark and Share

Institut for Matematiske Fag > Formidling > Klassebesøg

Besøgstjeneste for gymnasieklasser

Institut for matematiske fag ved Københavns Universitet modtager gerne gymnasieklasser til faglige appetitvækkere i matematik, operationsanalyse eller statistik.

Aftale kan træffes med Sara Ramskov , Institut for Matematiske Fag, Universitetsparken 5, 2100 København Ø. Det er bedst at henvende sig mindst 3 uger i forvejen, gerne med en prioriteret liste med nogle ønsker, udvalgt ud fra følgende resuméer.

Til foredrag mærket med * findes skriftligt materiale som klassen kan arbejde med før og efter besøget herinde.

Rette linier i krumme rum

Selv om de fleste nok føler, at de ved, hvad en ret linie i planen eller i rummet er, vil vi starte med en kort gennemgang af dette. Derefter vil vi søge at generalisere begrebet til et krumt rum -- i første omgang til en (krum) flade i rummet. Derefter kan foredraget gå mere i detalje, afhængigt af deltagernes interesser, med enten

  • Euklids parallelpostulat og de nye geometrier
  • Trekanters vinkelsum i krumme rum, krumningsstørrelser og den "indre geometri".
Hans Plesner Jakobsen

De tre klassiske problemer

Cirklens kvadratur, vinklens tredeling og terningens fordobling stod i århundreder centralt i matematikken. Problemerne blev formuleret inden for den græske geometri, men deres uløselighed med passer og lineal blev først vist i 1800-tallet med algebraiske og analytiske metoder.

I foredraget vil vi bl.a. komme ind på ægypternes bestemmelse af cirkelarealet, græske løsninger på de tre problemer (med andre midler end passer og lineal), arabernes opstilling af tredjegradsligningen svarende til tredelingsproblemet, løsning af tredjegradsligningen i renaissancen og en antydning af uløselighedsbeviserne.

Jesper Lützen

Archimedes

Archimedes var nok antikkens største matematiker. Hans arbejder omhandler statik, hydrostatik samt areal- og volumenbestemmelser. Faktisk fortæller han i et brev, at han fandt flere af sine resultater om arealer og voluminer ved at benytte vægtstangsreglen. Han beviste derefter resultaterne ved hjælp af den såkaldte exhaustionsmetode, der er en slags forløber for integralregningen. I foredraget vil jeg give eksempler på Archimedes' metoder og fortælle nogle af de gode anekdoter om hans liv, hans krigsmaskiner og hans voldsomme død.

Jesper Lützen

Differential- og integralregningens historie

Det siges normalt, at Newton og Leibniz ``opfandt'' differential- og integralregningen. Mange af deres forgængere i 1600-tallet, f.eks. Fermat, Descartes, Pascal og Wallis foregreb dog flere af de centrale idéer. I foredraget vil vi se på nogle af disse tidlige areal-, tangent- og max-min-metoder, før vi vender os mod Newton og Leibniz' metoder. Til slut vil jeg kort antyde den efterfølgende udvikling af differentialregningens grundlag.

Jesper Lützen

Regneinstrumenter og regnemetoder

Udførelsen af de fire fundamentale regneoperationer (plus, minus, gange og division) er sket på en række forskellige måder afhængig af kultur og tidspunkt. Bl.a. har det spillet ind, hvilket talsystem der har været brugt.

Foredraget vil behandle et udvalg af de instrumenter og metoder, der har været i brug. Eksempler på indhold kunne være: regning i oldtidens kulturer (Egypten, Mesopotamien og Kina), regnebrættet, regning med talsymbolerne, abacussen, Napierstave, logaritmer, regnestok og mekaniske regnemaskiner.

Jesper Lützen

Uendelighedsbegrebet

Foredraget er opdelt i tre dele: Barnet, Hotellet og Balsalen, der behandler uendelighedsbegrebet på forskellige niveauer, begyndende med vores tidlige `erfaringer', f.eks. stammende fra iagttagelse af himlen en stjerneklar nat. De sidste dele, især vedrørende balsalen, er mere matematiske. Her undersøger vi om de uendelig mange drenge altid kan komme ud at danse med de - ligeledes uendelig mange - piger, så alle kommer ud at danse, altså så bænkevarmere undgås. Dette spørgsmål fører til overraskende svar, der let kan få det til at svimle for os. Der er nu noget underligt over det uendelige ... og dermed over hele matematikken!

Til dette foredrag findes der noter som klassen kan benytte som forberedelse til og efterbearbejdelse af selve foredraget. Se evt også FTs hjemmeside.

Flemming Topsøe

Informationsteori

Tænk på nogle eksperimenter: Slå tilfældigt ned på et bogstav i en dansk tekst; kast en terning og se, hvor mange øjne den viser; træk et kort; ...

Hvilket eksperiment er mest ubestemt? Det viser sig, at man på fornuftig vis kan definere graden af ubestemthed af et eksperiment. Det sker ved hjælp af entropien. Og entropien fører til en diskussion af koder. Hermed er vejen åben til en række aktuelle forskningsområder, moderne kommunikationsteori, kryptering, visse dele af fysik m.m. Det når vi nu ikke at se så meget på, men begyndelsen er koderne, herunder optimale koder, og dem lærer vi rigtig godt at kende i løbet af foredraget!

Flemming Topsøe

Brug af karakterskalaen i gymnasiet. En statistisk analyse

Ved hjælp af deskriptive statistiske teknikker belyses det, om karakterskalaen bruges ens i de forskellige fag i gymnasiet. Det diskuteres, om det er fagligt forsvarligt at tage gennemsnit af studentereksamenskaraktererne. Og der gives eksempler på, hvilke metoder man kan bruge, hvis man ud fra kendskab til niveau og spredning på karaktererne i de enkelte fag vil optimere sit studentereksamensgennemsnit.

Inge Henningsen

Sæbeboblers matematik

Hvad har sæbebobler med matematik at gøre? Jo f.eks. kan grunden til, at sæbebobler er runde, forklares ved, at netop den runde flade er den mindste, der omslutter et givent rumfang.

Men historien slutter ikke der. Der er mange spørgsmål om sæbebobler, der kan formuleres rent matematiskt: Hvorfor ser to sammenklistrede sæbebobler ud som de gør? Hvilke figurer kan man i det hele taget lave ved brug af en sæbevæske? Det sidste spørgsmål blev undersøgt af Plateau i sidste århundrede og han beskrev de mulige sæbefilmsfigurer.

Matematikere arbejder stadig på at forstå, hvorfor netop Plateaus flader er de rigtige.

Man studerer også sæbeskum (eller for den sags skyld enhver anden slags skum ), altså mange sammenklistrede bobler.

For skum klemt inde mellem to glasplader gælder den simple von Neumann lov: Bobler med 5 eller færre nabobobler bliver mindre med tiden og bobler med 7 eller flere nabobobler vokser, mens bobler med 6 naboer hverken vokser eller bliver mindre.

Et par film der viser dette kan ses her. (Tak til Joel Stavans fra Weizmann Instituttet i Israel, som har produceret disse film og givet os tilladelse til at bruge dem her.)

Den matematiske forklaring er så elementær, at vi kan give det meste af den i foredraget.

Jan Philip Solovej

Differentialligninger og deres anvendelser

Et af de mest avancerede matematiske emner man møder i gymnasiet er differentiallignigner. I foredraget her vil vi begynde med de differentialligninger, man ser i gymnasiet og gradvist se på mere indviklede. Differentialligninger er nok den gren af matematikken, der anvendes mest. Stort set alt, hvad vi ser omkring os (f.eks. bygninger, biler, elektroniske instrumenter), bygger i større eller mindre grad på studiet af differentialligninger. Andre eksempler på anvendelser af differentialligninger er

  1. Bølgeudbredelse
  2. Epidemiers udvikling
  3. Populationsdynamik
  4. Atomers stuktur
  5. Prisen på det finansielle markeds optioner
  6. Einsteins generelle relativitetsteoris ligninger for universets struktur.

I foredraget vil vi skrive nogle af disse ligninger ned (det bliver dog nok svært med nogen af dem f.eks. Einsteins ligninger). Vi vil også nævne nogen af de problemer, der stadig optager matematikere ved studiet af differentialligninger. F.eks. om ligningerne faktisk har pæne løsninger, og hvis ikke, hvad det så betyder for anvendelser.

Jan Philip Solovej

Polynomier: Simple funktioner, der fører til dyb matematik

Foredraget fortæller om hvordan løsning af ligninger af første, anden, tredie,... grad er mulig og hvordan det har ført til at vores talsystem er udvidet fra hele tal over brøker, irrationale tal til reelle og komplekse tal. Derudover fortælles lidt om polynomial iteration, altså f.eks. at udregne p(0), p(p(0)), p(p(p(0))),... for et polynomium p(x), og se på hvad det kan føre til. Det fører bl.a. til Mandelbrotmængden, der er så raffineret, at et forstørrelsesglas afslører nye ting.

Christian Berg

Matematikken bag Google

En væsentlig parameter i internetsøgemaskinen Googles succes er det patenterede PageRank-system, der benytter den interne geometri i world wide web til at vurdere hvilke sider, der er "vigtigere" end andre, og dermed kunne vise de vigtigste sider først. Groft sagt er ideen, at man estimerer sandsynligheden for at lande på en given side ved en lang og vilkårlig "surf-session" ud fra en tilfældig hjemmeside. Hvis sandsynligheden er relativt høj, så må det være fordi der er andre vigtige hjemmesider, der linker til den givne side.

Den matematiske baggrund for metoden involverer Perron-Frobenius' sætning, og kan forklares alene på baggrund af begrebet matrixmultiplikation, som tænkes indført undervejs. Der stilles således ingen deciderede krav til tilhørernes forudsætninger, omend det vil kunne løfte niveauet en smule hvis jeg kan forudsætte kendskab til betingede sandsynligheder og Bayes' formel.

Baggrundsmateriale: Cleve's corner.

Søren Eilers

Massedrab eller moderne plejehjemsdrift?
- En matematisk statistiker ser på Plejebo-sagen.

Da Plejebo-sagen nåede medierne, baserede den sig i det store og hele på sammenligning af antallet af dødsfald på to etager af et vist Københavns plejehjem. Og der var da også tale om ganske dramatiske forskelle.

Foredraget handler om hvordan man skal fortolke sådanne dramatiske forskelle, og mere generelt om hvordan man modellerer dødeligheder.

Ernst Hansen

Hvad bør en option koste?

En option giver ret, men ikke pligt, til at gøre "et eller andet", fx købe en aktie til en på forhånd aftalt kurs.

Der handles optioner i "ren finansiel form" for svimlende beløb på alverdens børser, hvor de giver mulighed for både forsikring og spekulation. Men også ganske mange andre steder finder vi optionslignende egenskaber (husejeres mulighed for førtidig låneindfrielse, pensionskassers rentegarantier, incitamentsbaseret aflønning, medicinal/biotek-virksomheders mulighed for at afbryde forskningesprojekter undervejs, ...)

En option har tydeligvis en positiv værdi for dens ejer. Men hvilken og hvorfor?

I foredraget vil vi først se på en simpel model og forklare, hvordan finansielle optioner her kan værdiansættes. Senere illustreres det hvordan -- med computeren som uvurderligt hjælpemiddel -- mere avancerede og realistiske modeller kan opbygges og behandles.

Mere information

Rolf Poulsen

Halthed af heste: en statistisk analyse

Accelerationsmålinger bruges sommetider til at undersøge hvor symmetrisk en hest bevæger sig. Raske heste bevæger sig mere symmetrisk end halte heste, og ideen er derfor at bruge graden af asymmetri som et objektivt mål, eller en score, for graden af halthed. I foredraget ser vi på sådanne accelerationsdata og udleder en symmetriscore. Vi bruger normalfordelingen til at lave en statistisk model for den naturlige variation hos raske heste og undersøger om scoren kan bruges til diagnosticering af halthed.

Helle Sørensen

Brownsk bevægelse -- fra pollenkort til matematisk blomst

Hvad er Brownsk bevægelse? Det er dels en observerbar bevægelse af mikroskopiske partikler i en opløsning og dels en matematisk teori til beskrivelse af bevægelserne. Botanikeren Robert Brown beskrev som den første bevægelserne i 1828 og Einstein udleder i 1905 en matematisk teori som en konsekvens af eksistensen af atomer. Teorien er grundlæggende en statistisk teori, der ikke beskriver den præcise bane for en enkelt partikels bevægelse, men derimod fordelingen af mange partiklers bevægelser. I foredraget vil jeg skitsere den historiske baggrund for det matematiske objekt vi i dag kalder Brownsk bevægelse, og jeg vil forklare hvad matematisk Brownsk bevægelse er for en størrelse. Vi kommer også ind på flere af de moderne anvendelser indenfor statistik og økonomi -- og så vil jeg afsløre hvad det hele har at gøre med kvadratiske rester og fliselægningen i Hafnias gamle forhal.

Niels Richard Hansen

Forsikring og investering - er det matematik?

Vi præsenterer en række matematiske problemstillinger i forbindelse med aftaler som du kan indgå på det finansielle marked og på forsikringsmarkedet. Vi fokuserer på en realistisk aftale der indeholder flere forskellige typer risici, nemlig 'helbredstilstanden' for både dig og økonomien på et fremtidigt tidspunkt. Med udgangspunkt i denne aftale diskuterer vi de matematiske principper, der ligger til grund for dens værdi. Vi diskuterer også nogle af de valg, som du og andre involverede parter eventuelt kan foretage inden for kontrakten og kigger så på hvilken indflydelse disse valg kan/skal have på værdien.

Mogens Steffensen