Mundtlige spørgsmål til 2AN eksamenen - januar 2002

I har selv en vis frihed indenfor hvert spørgsmål til at udvælge de dele af stoffet, I ønsker at gennemgå. (Dette må gerne indeholde ting fra bogen, som jeg ikke har dækket til forelæsningen, og vice versa.)

Jeg har med kursiv angivet et forslag til hvad de enkelte spørgsmål kan omhandle. I de fleste tilfælde skal I nok udvælge dele af det foreslåede materiale. (Der vil ikke være tid til at snakke om det hele.)

1. Åbne og afsluttede mængder i metriske rum. § 2.1-2.2.

2. Ækvivalens af metrikker og af normer. § 2.3 (beviset for Sætning 2.15 er ikke pensum). Eksempel 5.5 og Sætning 6.15.

3. Kontinuerte afbildninger mellem metriske rum. § 3. Udvælg selv et passende antal resultater.

4. Om rummet L(E,F). Definition af en lineær operator og dens (operator)norm (øverst s. 4.5) og Sætning 4.6 med bevis. Er der mere tid kan denne bruges til en (eller flere) af følgende ting: Sætning 4.8 (som er bevist nederst s. 4.6), Sætning 5.7, Sætning 5.12 og/eller Sætning 4.4 (de to sidste er dog ikke pensum).

5. Limes superior og limes inferior. Afsnit 3 i de supplerende noter "Om de reelle tal". Evt. også udpluk fra Afsnit 2 i disse noter.

6. Fuldstændige metriske rum. § 5. Sætning 5.3, 5.7, 5.10 og 5.11.

7. Hovedsætninger om kompakte mængder. § 6.2 (hovedsætninger om kompakte mængder) og § 6.4 (overdækningssætningen).

8. Uniform kontinuitet og anvendelser. § 6.5 og Sætning 3 i de supplerende noter "Riemann integralet af kontinuerte funktioner".

9. Banach's fixpunktsætning og anvendelser. § 7.2 (Banach's fixpunktsætning), § 7.1 (en integralligning), og Sætning 7.9' fra de supplerende noter ""Discountudgave" af Sætning 7.9".

10. Hilbertrum. §§ 1.4-1.5 i HR. Udover Definition 1.8 kan man medtage et passende udvalg af: Eksempel 1.9 (2), og Sætningerne 1.10, 1.13, 1.14, 1.15 og 1.16.

11. Fourierrækker. § 2.2-2.3 i HR. Det er nok bedst at lægge hovedvægten (eller hele vægten) på § 2.3 om uniform konvergens af Fourierrækker. (Især Lemma 2.7 og Sætning 2.8 med beviser).

12. Fouriertransformationen. Efter supplerende noter. Giv definitionen af Fouriertransformationen og sigt herefter imod Inversionssætningen (Sætning 2.9) med bevis. Man kan også vælge andre sætninger i de supplerende noter (f.eks. sætningerne 2.7 og 2.11).

Tilbage til 2AN hjemmesiden