Ramification in local fields

Specialeforsvar ved Peter Vang Uttenthal 

Titel: Ramification in local fields

Abstract: Betragt en abelsk udvidelse af et fuldstændiggjort valueret legeme. Filtrationen af forgreningsgrupper i Galoisgruppen kan udstyres med en øvre nummerering som, via Herbrands sætning, er kompatibel med kvotientdannelse. Hasse-Arf's sætning siger da, at spring i forgreningsgrupperne udelukkende kan forekomme ved heltallige værdier af  nummereringen. Hovedformålet med dette speciale er at præsentere et fuldt bevis for denne sætning. Det er frugtbart at begynde med det specielle tilfælde, hvor legemsud-videlsen er totalt forgrenet med en Galoisgruppe af primtalsorden. Ideen er at forbindede successive kvotienter af forgreningsgrupperne, som koder for spring, med en følge af grupper af enheder i heltalsringen af det øvre legeme ved hjælp af en velvalgt afbildning. Det er muligt at give en særligt præcis beskrivelse af, hvordan normafbildningen virker på denne følge af grupper af enheder ved hjælp af et elegant kombinatorisk bevis, som jeg præsenterer i alle detaljer. Til slut nås frem til en eksakt følge, hvor spring i forgrenings-grupperne afspejles i opførslen af normafbildningen. Det er således naturligt at reducere Hasse-Arf's sætning til det cykliske, totalt forgrenede tilfælde og udnytte denne sammenhæng. Det er netop sådan, at beviset færdiggøres. Hasse-Arf's sætning er en essential ingrediens i beviset for eksistensen af Artin-repræsentationen af Galoisgruppen knyttet til legemsudvidelsen. Denne eksistens er ækvivalent med udsagnet om, at Artin-føreren af enhver karakter på Galoisgruppen er et ikke-negativt helt tal, og specialet afsluttes med et bevis for dette udsagn. 

Vejleder:  Ian Kiming 
Censor:    Tom Høholdt, DTU