Nedenfor følger sideangivelser svarende til pensum. Sidetal nævnt i parentes vedrører stof, der kan læses kursorisk, dvs. stoffet skal kendes, men der stilles ikke selvstændige opgaver vedrørende dtte stof.
(1-9)
10-15
17-22
(22-25)
25-29
37-40
43
(48-53)
57-72
96-109
(110-112)
116-126
(131-142)
Formentlig tilbyder David Brink en repetitionstime til eksamensforberedelse, mandag d.10. januar. Nærmere aftale må træffes med DB: brink@math.ku.dk. Læg iøvrigt mærke til repetitionen d. 13/12.
Under "Forelæsninger" anføres stof, der enten er gennemgået eller påregnes læst ved selvstudium. Øvelserne anført under uge x behandles i klassetimerne i uge x+1
| Uge | Forelæsninger | Øvelser | Skriftlig aflevering | Mundtlig tavlegennemgang |
|---|---|---|---|---|
| 35 | Kap. I, II.1 (II.2 er ikke eksamensstof, men indholdet blev antydet) | Ø3 s.3, Ø5 s.4 (vigtig), (Ø1 s.12), Ø2 s.12, Opgave II.24 (s.34) | Ø5 s.4 | Sætning 2.1.1 |
| 36 | Def.2.4.1, Sætn.4.2.1+3 formuleret, Def.2.6.1, IV.6.2 (kun definitionen af restriktion af mål), III.3.1 til s.38^14, Def.3.2.1, §IV.3 | Ø1 s.25, Ø2 s.26, Ø2 s.67, (Opg.II.10), Opg.III.4, (Opg.III.13), Opg.IV.4 | Ø2 s.26 eller, mere ambitiøst, Opg.IV.4 | Sætning 4.3.1 (dele af) |
| 37 | IV.4; II.3 | Ø2 s.69; Opg. i Kap.IV:6,7 og 11; tilføjelse til Opg.11: Find eksempel på endeligt additivt mål på en Borelstruktur som opfylder (iv) og (v), men som ikke er et mål (se på 0/uendelig mængdefunktion); Opg.13 i Kap.II (vigtig!) | Opg. 13 i Kap.II | Sætning 2.3.3 |
| 38 | II.4; II.6 (ikke s.30) | Kap.II, opgaverne 18, 23, 27, 29, 31 | Opg. II.29 | Sætning 2.6.4, "hvis-delen" |
| 39 | III.1(til og med Sætn. 3.1.5,(i));III.2;III.5 | Opgaverne II.20+30; opgaverne III.1+2+3+6+7 | Opgave II.30 | Korollar 3.1.5 |
| 40 | II.5; IV.1+2 | Opgaverne III.5+14+15 | Opgave III.14 | Sætning 3.1.4, sidste del eller, mere ambitiøst, beviset for (i) i Sætning 3.1.5 |
| 41 | IV.5; V.1 | (Ø1 s.58); Ø2 s.58; (Find et eksempel på en semikompakt brolægning, der ikke er kompakt (ikke så let uden et vink, men prøv nu!)); Opgaverne IV.2+5 | Opgave IV.5 | Sætning 4.2.3 |
| 43 | V.2 | (Ø1 s.71); Ø2 s.71; Bestem fuldstændiggørelsen af Dirac-målet defineret på en Borelstruktur, der indeholder de endelige mængder; (Eksempel 2 s.99); Opgave V.1 (vigtig, synes jeg!) | Opgave V.1 | Sætning V.1.1 (kun essentielle del, gerne med den lille lettelse, jeg fandt under forelæsningen, se under rettelser) |
| 44 | V.3+4, desuden antydning af beviset for Holder's ulighed i Appendix III | Opgaverne V 6+7+10; dele af eksamensopgaven, 3MI 98/99 (resten til næste uge)- jeg tager et antal eksemplarer med til forelæsningen 2/11 eller giver dem til David Brink til uddeling 1/11. | Dele af Eksamensopgaven nævnt ovenfor | Sætning V.3.1, (x) |
| 45 | VI.1 | evt. resterende dele af eksamensopgaven, 3MI 98/99; Opgave V 8; samt opgaverne VI 1+2+6 (vent evt. med VI.6 til næste gang) | Opgave VI.2 | Sætning 6.1.1, (iii) |
| 46 | VI.2 (kun til s.126^3) | Øvelse 2 s.122; Opgaverne VI. 6(hvis ikke nået sidste gang)+3+8+16 | Opgave VI.16 | Sætning 6.2.3 (f.eks. kun (i)) |
| 47 | VI.3 (prøver at koncentrere mig om de dele, der er vigtige a.h.t. den vigtige VI.4) | Opgaverne VI.10+15+17(dog nok for nem)+18+27+evt.22 | Opgave VI.10 | (efter behag!) |
| 48 | VI.3 hængepartier+VI.4 | Opgaverne VI.22(hvis ikke gennemgået sidste uge)+24+25+28+29 | Opgave VI.29 | (efter behag!) |
| 49 | der forelæses over fraktaler | Den sidste uge foreslår jeg repetition under ledelse af David Brink. Som rettesnor kan jeg pege på flg. opgaver som velegnede: II.5+16+29, III.2+3+7+9, IV.2+3+9+11, V.4+9+10+12, VI.1+2+3+5+6+8+10+15+16+18 | ... | (efter behag!) |
| 50 | obs: i denne uge ombyttes tiden for forelæsninger og øvelser! Forelæsningen (altså 13/12): Jeg gennemgår hele pensum i oversigtsform med pointering af de væsentligste dele. | obs: Der er ingen øvelser i uge 51: | ... | (efter behag!) |
Da jeg er sprunget rundt i teksten angiver jeg her en udførlig læsevejledning. Dog peger jeg ikke på de opgaver, man bør studere sideløbende med teksten - det fremgår af kursusplanen, hvilke, jeg anser for relevante.
I; II.1; eksempel 4 i II.1 udvidet efter Def. 2.4.1 (hvor man gerne kan antage, at det drejer sig om et metriserbart rum eller endog et euklidisk rum); formuleringen af Sætn.4.2.3; Sætn. 4.3.1; Definition 2.6.1; VI.2 (kun det side 120 om restriktion af mål); resten af IV.3; IV.4; II.3;resten af II.4; II.6; III.1,; resten af III.2; III.5 (vigtigste dele, af egentligt nyt især stof vedr. halvkontinuerte funktioner - meget er til opslagsbrug); II.5; IV.1; IV.2 (læs tillige gerne i supplementet - nøje studium unødvendigt); IV.5; V.1; V.2; V.3; V.4; Appendix III, s. 18.5-7 (eller 7.5-7); VI.1; VI.2 (til s.126, midten); VI.3
Jeg håber, I får glæde af kurset. Endnu er det ikke helt færdigudviklet
fra min side. Jeg vil være taknemmelig for feed-back, der kan føre til et helt
afrundet resultat. Af ændringer, jeg selv vil arbejde med er følgende
(skitseret):
1. Mindre abstrakt stof i starten;
2. Mere om invarians
af Lebesguemålet;
3. Flere banale opgaver vedrørende konkret bestemmelse
af integraler m.v.;
4. Tilføjelse af et helt nyt større afsnit om
deskriptiv mængdelære, topologi og målteori (con-amore læsning eller emne til
læsekursus);
5. Færdiggørelse af afsnittet om differentiation af mål;
6. Færdiggørelse af stikordsregistret (det nuværende er udafbejdet af Tine
Buch-Larsen og dækker ikke hele notesættet);
7,8,... Ideer modtages!
- er på 234 sider og koster 120 kr. Ser nu, at s.11 i Supplement ikke er trykt med. Udleveres ved forelæsningerne (eller øvelserne).
s.19^2: En banalitet: Bør også notere, at den tomme mængde er med i H_E.
s.19_8: Der skal henvises til Sætning 1.
s.19_2: Der skal henvises til (2.5) (to gange).
s.24_3, andet symbol: Skal være et 0 (N^0)
s.27, Sætning 2.6.2: Intet galt, men senere (Sætn.6.2.2)
får vi brug for et svagt udvidet resultat, hvor man blot forudsætter, at der
er tællelig mange E_1 - mængder, der overdækker X_1 og tilsv. for X_2 (dette
giver en konsekvensrettelse lige efter (2.12)..
s.97_11 - 98^4: Ingen egentlig rettelse, men en lille lettelse opnås, hvis man
nøjes med at kigge på de positive tal \alpha_\nu for hvilke også
\mu(A_\nu) er positiv. Erstat så højre-siden i 97_7 med \rho * \mu(A_\nu) (i
st.f. t_\nu). Ret tilsvarende i resten af beviset. (fordelen er blot, at vi
undgår alle t'erne - mod at (\rho)^2 optræder i stede for \rho.
s.113, Opgave 6. Tak til David Brink for at gøre opmærksom på et her er jeg
grueligen faldet i vandet vedr. +/- uendelig (ALLE begår fejl her, det er noget
irriterende teknisk stads, hvor vedtægter afviger fra forfatter til
forfatter). Det hele klares ved at antage, at de givne funktioner f og g kun
kan antage endelige værdier (alternativt kunne definitionerne på "skrevet L"
etc. ændres, men her tror jeg, jeg har truffet det bedste valg.
s.123^8: Husk rettelsen til s.27!
s.124^1: henvisningen skal være til Sætning 2.3.2.
s.136^10-11: ...som overdækker X og så \mu(B_n's afslutning) er endelig.
s.148^8-9: Stryg andet led i kæden af uligheder.
- er skriftlig, 3 timer. Halvdelen af tiden (1½ time) er uden hjælpemidler, halvdelen med hjælpemidler. Grunden til delingen er, at en del af eksamen vil dreje sig om besvarelsen af en stilopgave relateret til rent teoristof, hvor det er uhensigtsmæssigt at tillade brug af hjælpemidler (noter m.v.), mens resten af eksamen vedrører mere traditionelle opgaver, hvor brug af hjælpemidler er hensigtsmæssig.
Tirsdag 11-13 i aud. 5 ved Flemming Topsøe.
Fast træffetid: tirsdage 13-15, men ellers "når som helst".
Jeg blev 30/11 opfordret til at præcisere krav etc. vedr. stilopgaverne. Faktisk har jeg intet at tilføje til det fremførte nedenfor, men gør opmærksom på at visse emner er fjernet fra listen nedenfor.
Det er jo ret nyt med stilopgaver til eksamen. De første 7 forslag ligger nu på nettet. Klik selv efter! Meld gerne tilbage, hvis I har kommentarer.
Vedrørende krav til eksamen i forbindelse med den første del, der
er uden hjælpemidler, kan I forvente, at der stilles en stilopgave, der vil
knytte an til bredt kendskab til stoffet i almindelighed og specielt kendskab
til følgende resultater og deres beviser:
Sætning 3.1.3 med korollarer, s.38-40
Sætning 5.1.1 s.97
Sætning 5.3.1 s.105-106
Sætning 6.1.1 s.117
Sætning 6.2.2 s.123
Bemærkninger: Naturligvis skal man kende alle definitioner og tidligere resultater, der udnyttes ved beviset for denne eller hin af ovenstående resultater, der eksplicit er peget på.
Sidst opdateret: tirsdag 22.december 1999, Flemming Topsøe, topsoe@math.ku.dk