For sædvanlige eller ordinære differentialligninger (ODE) eller differentialligningssystemer gælder under de velkendte Lipschitz betingelser, at der er eksistens og entydighed af lokale løsninger. Under specielle betingelser kan man finde løsningerne på lukket form. I tabellen nedenfor er en oversigt over disse specielle ligninger eller systemer. Ved en løsning på lukket form forstår man en løsning der kan udtrykkes ved integraler af funktioner af en variabel og rødder i et polynomium af en variabel. Altså med andre ord, at løsningen kan reduceres til at finde stamfunktioner. Da systemer af generel orden altid kan reduceres til systemer af første orden, betragter vi kun disse. Størrelsen af systemet kan være vilkårlig.
Bemærk, at man ved brug af implicitfunktionssætningen ofte (men ikke altid), lokalt kan omskrive en generel ligning eller et generelt ligningssystem til en quasi-lineær ligning eller system. Det betyder selvfølgelig ikke, at man kan gøre det globalt.
Sidenumrene referer til bogen Andersson og Böiers (A&B). Løsningsmetodernes navne optræder ikke nødvendigvis i A&B.
| Typer og løsningsmetoder for sædvanlige differentialligninger ODE | |||
|---|---|---|---|
| Ligningstype | Orden | Udtryk | Løsningsmetode |
| generel | Generelt m | F(x(m),...,x',x,t)=0 | Ingen generel løsningsmetode |
| Quasi lineær | Generelt m | a(x(m-1),...,x',x,t)x(m) = F(x(m-1),...,x',x,t) | Ingen generel løsningsmetode |
| Quasi lineær ikke-singulær | Generelt m | x(m)=F(x(m-1),...,x',x,t) | Ingen generel løsningsmetode |
| Lineær inhomogen med variable koefficienter (ikke-singulær) | m>1 | x(m)+am-1(t)x(m-1)+...+a1(t)x'+a0(t)x=b(t) | Ingen generel løsningsmetode |
| Hvis man kender m lineært uafhængige løsninger til den tilhørende homogene ligning, kan løsningen findes ved variation af koefficienter. (Sats 6, s.51) | |||
| m=1 | x'+a(t)x=b(t) | Løses ved at finde en integrationsfaktor. Eller ved at bruge den resulterende elementære løsningsformel ((5) s.4). | |
| Lineær homogen med variable koefficienter (ikke-singulær) | m>1 | x(m)+am-1(t)x(m-1)+...+a1(t)x'+a0(t)x=0 | Ingen generel løsningsmetode |
| Reduktion af orden: Hvis en løning kendes, kan problemet om at finde de m-1 øvrige reduceres til en tilsvarende lineær homogen ligning af orden m-1. Optræder i A&B Opgave 1.21(b) s.56. | |||
| m=1 | x'+a(t)x=0 | Løses ved at finde en integrationsfaktor. Eller ved at bruge den resulterende elementære løsningsformel ((5) s.4). | |
| Eulerligning (singulær, lineær, homogen med variable koefficienter) | Generelt m | tmx(m)+am-1tm-1x(m-1)+...+a1tx'+a0x=0 | Løses ved at finde rødderne i indicialligningen. (Sats.4 s.14). |
| Lineær inhomogen med konstante koefficienter |
Generelt m | x(m)+am-1x(m-1)+...+a1x'+a0x=b(t) | Løsningen kan findes ved succesivt at løse første ordens ligninger (s.13). Ofte kan løsningen gættes. Man kan selvfølgelig også benytte variation af koefficienter (se ovenfor). |
| Lineær homogen med konstante koefficienter | Generelt m | x(m)+am-1x(m-1)+...+a1x'+a0x=0 | Løsningen kan udtrykkes ved rødderne i det karakteristiske polynomium. (Sats 2 s.11.) |
| Separabel | m=1 | x'=g(x)h(t) | Løses ved separation af variable (s.2) |
| Typer og løsningsmetoder for sædvanlige differentialligningssystemer af første orden | |||
| Systemtype | Størrelse | Udtryk | Løsningsmetode |
| generel | Generel >1 | F(x',x,t)=0 | Ingen generel løsningsmetode |
| Quasi lineær | Generel >1 | A(x,t)x'=F(x,t) | Ingen generel løsningsmetode |
| Quasi lineær ikke-singulær | Generel >1 | x'=F(x,t) | Ingen generel løsningsmetode |
| ``Separabel'' | Generel >1 | x'=g(x)h(t) | Ingen generel løsningsmetode |
| Autonomt | Generel >1 | x'=g(x) | Ingen generel løsningsmetode |
| Lineær inhomogen med variable koefficienter (ikke-singulær) | Generel >1 | x'=A(t)x+b(t) | Ingen generel løsningsmetode |
| Hvis A(t)A'(t)=A'(t)A(t) kan systemet løses ved at finde en fundamentalmatrix (Sats 10 s.122) og bruge variation af koefficienter. (Sats 5 og Följdsats, s.49) | |||
| Lineær homogen med variable koefficienter (ikke-singulær) | Generel >1 | x'=A(t)x | Ingen generel løsningsmetode |
| Hvis A(t)A'(t)=A'(t)A(t) kan systemet løses ved at finde en fundamentalmatrix (Sats 10 s.122 og s.49) | |||
| Lineær inhomogen med konstante koefficienter |
Generel >1 | x'=Ax+b(t) | Løses ved at eksponentiere matricen og benytte formel (8) s.108. |
| Lineær homogen med konstante koefficienter | Generel >1 | x'=Ax | Løses ved at eksponentiere matricen og benytte Sats 5 s.102 |