Oversigt over ordinære differentialligninger og systemer

For sædvanlige eller ordinære differentialligninger (ODE) eller differentialligningssystemer gælder under de velkendte Lipschitz betingelser, at der er eksistens og entydighed af lokale løsninger. Under specielle betingelser kan man finde løsningerne på lukket form. I tabellen nedenfor er en oversigt over disse specielle ligninger eller systemer. Ved en løsning på lukket form forstår man en løsning der kan udtrykkes ved integraler af funktioner af en variabel og rødder i et polynomium af en variabel. Altså med andre ord, at løsningen kan reduceres til at finde stamfunktioner. Da systemer af generel orden altid kan reduceres til systemer af første orden, betragter vi kun disse. Størrelsen af systemet kan være vilkårlig.

Bemærk, at man ved brug af implicitfunktionssætningen ofte (men ikke altid), lokalt kan omskrive en generel ligning eller et generelt ligningssystem til en quasi-lineær ligning eller system. Det betyder selvfølgelig ikke, at man kan gøre det globalt.

Sidenumrene referer til bogen Andersson og Böiers (A&B). Løsningsmetodernes navne optræder ikke nødvendigvis i A&B.

Typer og løsningsmetoder for sædvanlige differentialligninger ODE
LigningstypeOrdenUdtryk Løsningsmetode
generel Generelt m F(x(m),...,x',x,t)=0Ingen generel løsningsmetode
Quasi lineærGenerelt m a(x(m-1),...,x',x,t)x(m) = F(x(m-1),...,x',x,t) Ingen generel løsningsmetode
Quasi lineær
ikke-singulær
Generelt m x(m)=F(x(m-1),...,x',x,t) Ingen generel løsningsmetode
Lineær inhomogen med variable koefficienter (ikke-singulær)m>1 x(m)+am-1(t)x(m-1)+...+a1(t)x'+a0(t)x=b(t) Ingen generel løsningsmetode
Hvis man kender m lineært uafhængige løsninger til den tilhørende homogene ligning, kan løsningen findes ved variation af koefficienter. (Sats 6, s.51)
m=1x'+a(t)x=b(t)Løses ved at finde en integrationsfaktor. Eller ved at bruge den resulterende elementære løsningsformel ((5) s.4).
Lineær homogen med variable koefficienter (ikke-singulær)m>1 x(m)+am-1(t)x(m-1)+...+a1(t)x'+a0(t)x=0 Ingen generel løsningsmetode
Reduktion af orden: Hvis en løning kendes, kan problemet om at finde de m-1 øvrige reduceres til en tilsvarende lineær homogen ligning af orden m-1. Optræder i A&B Opgave 1.21(b) s.56.
m=1x'+a(t)x=0Løses ved at finde en integrationsfaktor. Eller ved at bruge den resulterende elementære løsningsformel ((5) s.4).
Eulerligning (singulær, lineær, homogen med variable koefficienter) Generelt m tmx(m)+am-1tm-1x(m-1)+...+a1tx'+a0x=0 Løses ved at finde rødderne i indicialligningen. (Sats.4 s.14).
Lineær inhomogen
med konstante koefficienter
Generelt m x(m)+am-1x(m-1)+...+a1x'+a0x=b(t) Løsningen kan findes ved succesivt at løse første ordens ligninger (s.13). Ofte kan løsningen gættes. Man kan selvfølgelig også benytte variation af koefficienter (se ovenfor).
Lineær homogen med konstante koefficienterGenerelt mx(m)+am-1x(m-1)+...+a1x'+a0x=0 Løsningen kan udtrykkes ved rødderne i det karakteristiske polynomium. (Sats 2 s.11.)
Separabelm=1x'=g(x)h(t) Løses ved separation af variable (s.2)
Typer og løsningsmetoder for sædvanlige differentialligningssystemer af første orden
SystemtypeStørrelseUdtryk Løsningsmetode
generel Generel >1 F(x',x,t)=0Ingen generel løsningsmetode
Quasi lineærGenerel >1 A(x,t)x'=F(x,t) Ingen generel løsningsmetode
Quasi lineær
ikke-singulær
Generel >1 x'=F(x,t) Ingen generel løsningsmetode
``Separabel''Generel >1x'=g(x)h(t) Ingen generel løsningsmetode
AutonomtGenerel >1x'=g(x) Ingen generel løsningsmetode
Lineær inhomogen med variable koefficienter (ikke-singulær) Generel >1 x'=A(t)x+b(t) Ingen generel løsningsmetode
Hvis A(t)A'(t)=A'(t)A(t) kan systemet løses ved at finde en fundamentalmatrix (Sats 10 s.122) og bruge variation af koefficienter. (Sats 5 og Följdsats, s.49)
Lineær homogen med variable koefficienter (ikke-singulær) Generel >1 x'=A(t)x Ingen generel løsningsmetode
Hvis A(t)A'(t)=A'(t)A(t) kan systemet løses ved at finde en fundamentalmatrix (Sats 10 s.122 og s.49)
Lineær inhomogen
med konstante koefficienter
Generel >1 x'=Ax+b(t) Løses ved at eksponentiere matricen og benytte formel (8) s.108.
Lineær homogen med konstante koefficienterGenerel >1 x'=Ax Løses ved at eksponentiere matricen og benytte Sats 5 s.102