Bemærk, at man ved brug af implicitfunktionssætningen ofte (men ikke altid), lokalt kan omskrive en generel ligning eller et generelt ligningssystem til en quasi-lineær ligning eller system. Det betyder selvfølgelig ikke, at man kan gøre det globalt.
Sidenumrene referer til bogen Andersson og Böiers (A&B). Løsningsmetodernes navne optræder ikke nødvendigvis i A&B.
Typer og løsningsmetoder for sædvanlige differentialligninger ODE | |||
---|---|---|---|
Ligningstype | Orden | Udtryk | Løsningsmetode |
generel | Generelt m | F(x(m),...,x',x,t)=0 | Ingen generel løsningsmetode |
Quasi lineær | Generelt m | a(x(m-1),...,x',x,t)x(m) = F(x(m-1),...,x',x,t) | Ingen generel løsningsmetode |
Quasi lineær ikke-singulær | Generelt m | x(m)=F(x(m-1),...,x',x,t) | Ingen generel løsningsmetode |
Lineær inhomogen med variable koefficienter (ikke-singulær) | m>1 | x(m)+am-1(t)x(m-1)+...+a1(t)x'+a0(t)x=b(t) | Ingen generel løsningsmetode |
Hvis man kender m lineært uafhængige løsninger til den tilhørende homogene ligning, kan løsningen findes ved variation af koefficienter. (Sats 6, s.51) | |||
m=1 | x'+a(t)x=b(t) | Løses ved at finde en integrationsfaktor. Eller ved at bruge den resulterende elementære løsningsformel ((5) s.4). | |
Lineær homogen med variable koefficienter (ikke-singulær) | m>1 | x(m)+am-1(t)x(m-1)+...+a1(t)x'+a0(t)x=0 | Ingen generel løsningsmetode |
Reduktion af orden: Hvis en løning kendes, kan problemet om at finde de m-1 øvrige reduceres til en tilsvarende lineær homogen ligning af orden m-1. Optræder i A&B Opgave 1.21(b) s.56. | |||
m=1 | x'+a(t)x=0 | Løses ved at finde en integrationsfaktor. Eller ved at bruge den resulterende elementære løsningsformel ((5) s.4). | |
Eulerligning (singulær, lineær, homogen med variable koefficienter) | Generelt m | tmx(m)+am-1tm-1x(m-1)+...+a1tx'+a0x=0 | Løses ved at finde rødderne i indicialligningen. (Sats.4 s.14). |
Lineær inhomogen med konstante koefficienter |
Generelt m | x(m)+am-1x(m-1)+...+a1x'+a0x=b(t) | Løsningen kan findes ved succesivt at løse første ordens ligninger (s.13). Ofte kan løsningen gættes. Man kan selvfølgelig også benytte variation af koefficienter (se ovenfor). |
Lineær homogen med konstante koefficienter | Generelt m | x(m)+am-1x(m-1)+...+a1x'+a0x=0 | Løsningen kan udtrykkes ved rødderne i det karakteristiske polynomium. (Sats 2 s.11.) |
Separabel | m=1 | x'=g(x)h(t) | Løses ved separation af variable (s.2) |
Typer og løsningsmetoder for sædvanlige differentialligningssystemer af første orden | |||
Systemtype | Størrelse | Udtryk | Løsningsmetode |
generel | Generel >1 | F(x',x,t)=0 | Ingen generel løsningsmetode |
Quasi lineær | Generel >1 | A(x,t)x'=F(x,t) | Ingen generel løsningsmetode |
Quasi lineær ikke-singulær | Generel >1 | x'=F(x,t) | Ingen generel løsningsmetode |
``Separabel'' | Generel >1 | x'=g(x)h(t) | Ingen generel løsningsmetode |
Autonomt | Generel >1 | x'=g(x) | Ingen generel løsningsmetode |
Lineær inhomogen med variable koefficienter (ikke-singulær) | Generel >1 | x'=A(t)x+b(t) | Ingen generel løsningsmetode |
Hvis A(t)A'(t)=A'(t)A(t) kan systemet løses ved at finde en fundamentalmatrix (Sats 10 s.122) og bruge variation af koefficienter. (Sats 5 og Följdsats, s.49) | |||
Lineær homogen med variable koefficienter (ikke-singulær) | Generel >1 | x'=A(t)x | Ingen generel løsningsmetode |
Hvis A(t)A'(t)=A'(t)A(t) kan systemet løses ved at finde en fundamentalmatrix (Sats 10 s.122 og s.49) | |||
Lineær inhomogen med konstante koefficienter |
Generel >1 | x'=Ax+b(t) | Løses ved at eksponentiere matricen og benytte formel (8) s.108. |
Lineær homogen med konstante koefficienter | Generel >1 | x'=Ax | Løses ved at eksponentiere matricen og benytte Sats 5 s.102 |