Stilopgaven - 3MI - forår 2002

Den skriftlige eksamen består af to dele. De første 1 1/2 time er uden hjælpemidler, og her besvares en stilopgave. I stilopgaven skal man typisk formulere og bevise en eller flere sætninger i et centralt emne indenfor faget. Lidt svarende til en mundtlig eksamen. I de resterende 1 1/2 time besvares mere traditionelle regneopgaver, og hertil må man bruge samtlige sædvanlige hjælpemidler.

Stilopgaven vil være en af nedenstående 14 opgaver. Onsdag d. 1. maj udvælger jeg (evt. ved lodtrækning) 5 af opgaverne (resultatet af udvælgensen offentliggøres med det samme på denne side) - og der vil til den skriftlige eksamen blive stillet een af disse 5 opgaver.

Bemærk, at den endelige kortliste (med de 5 opgaver) meget nemt kan blive forskellig fra sidste års kortliste.

I lighed med tidligere eksaminer i 3MI vil stilopgaven blive ledsaget af nogle hjælpende (og præciserende) kommentarer, som har det formål at bringe eksaminanden på det rette spor. Se gamle 3MI-eksaminer.

Den (lange) liste med 14 spørgsmål er:

1. sigma-algebraer og målelige afbildninger (Sætning 1.2, Borel-sigma-algebraen, grænseovergange af målelige funktioner, regneregler).
2. Mål (udledning af egenskaber ved mål, eksempler, næsten overalt).
3. Integral af positive funktioner (især Lebesgue's sætning om monoton konvergens).
4. Integral af reelle funktioner (især Fatou's Lemma og Lebesgue's sætning om majoriseret konvergens).
5. Integral med reel parameter (Sætning 4.26 og 4.28).
6. Caratheodory's Sætning.
7. Eksistens af Lebesguemålet.
8. Entydighed af Lebesguemålet.
9. Lokalt integrable funktioner og infinitisimalregningens hovedsætning.
10. Produktmål (Sætning 6.6, Lemma 6.7 og omtale af produkt-sigma algebraen).
11. Tonellis og Fubinis sætninger.
12. Hölders og Minkowskis uligheder.
13. Fischer's fuldstændighedssætning.
14. Tæthed af C_c(R^k) i L_p. (Sætning 7.28 og side 7.19).

Den korte liste med 5 spørgsmål er:

1. Integral af reelle funktioner (især Fatou's Lemma og Lebesgue's sætning om majoriseret konvergens).
2. Entydighed af Lebesguemålet.
3. Produktmål (Sætning 6.6, Lemma 6.7 og omtale af produkt-sigma algebraen).
4. Fischer's fuldstændighedssætning.
5. Tæthed af C_c(R^k) i L_p. (Sætning 7.28 og side 7.19).

Bemærk, at nummerering i den lange og den korte liste ikke stemmer overens!

Tilbage til 3MI hjemmeside