Matematisk Afdeling 5. april 2002 Institut for Matematiske Fag Mikael Rørdam

Mat 3MI — Mål og Integralteori – F02 — Ugeseddel nr. 9

Forelæsningerne i uge 14: Jeg gennemgik resten af eksistensbeviset for Lebesguemålet (afsnit 2 i de supplerende noter om “fuldstændighed af Lebesguemålet” springer vi over). Beviset for Lemma 9 overlades til selvlæsning.

Jeg fortsatte i §5.1 om entydighed af Lebesguemålet (Hovedsætning 5.1, som følger af Hovedsætning 5.4), og om Dynkinklasser.

Forelæsningerne i uge 15: Her læses §5.1 om entydigheden af Lebesguemålet færdigt. Der fortsættes med Vitali’s sætning (5.30) og §5.2 om lokalt integrable funktioner gennemgås (her springes lidt i noterne).

Hjemmeopgave — afleveres i uge 16: Opgave 5.14 og 5.15.

Øvelserne i uge 16: Regn de tre supplerende opgaver, og opgaverne 5.7^{∗}, 5.10, 5.11^{∗}, 5.32 spm. 1^{0}, 5.33.

Opgaverne mærket med en * regnes, hvis tiden tillader det.

Supplerende opgave 1: Denne opgave handler om Dynkinsystemer (= σ-klasser)!

(i) Lad 𝔻 være et Dynkinsystem på en mængde X. Antag A, B ∈ 𝔻 og at A ⊆ B. Vis at B \ A ∈ 𝔻.

(ii) Lad n være et naturligt tal, sæt X = {1, 2, …, n}, og betragt systemet

𝕂 = {{1}, {1, 2}, {1, 2, 3}, …, {1, 2, …, n − 1}, X}.

Vis at 𝔻(𝕂) = P (X).

(iii) Betragt her systemet 𝕂 = {{1, 2}, {1, 3}} på X = {1, 2, 3, 4}. Vis at σ(𝕂) = P (X), at 𝔻(𝕂) ≠ P (X), og konkluder, at 𝔻(𝕂) ikke er en σ-algebra.

(iv) Lad X og 𝕂 være som i spørgsmål (iii). Konstruer to forskellige mål μ og ν på P (X) således, at μ(X) = ν(X) < ∞ og μ(K) = ν(K) for alle K ∈ 𝕂.

Supplerende opgave 2: Beskriv Radon-målet på ℝ hørende til hver af de positive linearformer

I_{1}(f) = f(4),  I_{2}(f) = f(1) + 2f(2),  I_{3}(f) = \frac{1}{2} ∫_{0}^{1} f(x) dx + f(0) + f(1),

hvor f ∈ C_{c}(ℝ).

Supplerende opgave 3: Lad f: ℝ^{+} → ℝ være givet ved

f = ∑_{n=0}^{∞} \frac{(−1)^{n}}{n + 1} 1_{[n,n+1)}.

Vis at f ∈ L_{loc}(ℝ^{+}), at grænseværdien

lim_{x→∞} ∫_{0}^{x} f(t) dt

findes, men at f ikke tilhører L(ℝ^{+}).