Matematisk Afdeling 10. marts 2002 Institut for Matematiske Fag Mikael Rørdam

Mat 3MI — Mål og Integralteori – F02 — Ugeseddel nr. 6

Forelæsningerne i uge 10: Her blev §4.1 om integration af positive funktioner blev læst færdigt. Sælige vigtige er konvergenssætningerne: Lebesgue’s monotonisætning (Hovedsætning 4.3) og Fatou’s Lemma (Sætning 4.7).

Forelæsningerne i uge 11: Her læses §4.2 og §4.7. Er det mere tid, så fortsætter jeg med §§4.3–4.6.

Hjemmeopgave — afleveres i uge 12: Opgave 2, spm. (ii), (iii) og (iv) Eks. januar 1999 og Opgave 3 Eks. juni 1999. (Eksamensopgaverne kan hentes på kursets hjemmeside.)

Øvelserne i uge 12: Regn opgaverne: 4.8^{∗}, 4.19, 4.23, 4.24^{∗}, 4.41^{∗}, 4.42 og de to supplerende opgaver.

Supplerende opgave 1: Vis at

lim_{n→∞} ∫_{0}^{2π} sin(x)^{n}dx = 0.

Supplerende opgave 2: Lad f ∈ L(ℝ, 𝔹, m) være givet, og se på den Fourier transformerede g af f:

g(t) = \frac{1}{\sqrt{2π}} ∫_{ℝ} f(x)e^{−ixt}dx.

Vis, at g er veldefineret og kontinuert. Sæt f_{1}(x) = −ixf(x). Vis, at hvis f_{1} tilhører L(ℝ, 𝔹, m), så er g differentiabel, og

g′(t) = \frac{1}{\sqrt{2π}} ∫_{ℝ} f_{1}(x)e^{−ixt}dx.