Matematisk Afdeling 27. februar 2002 Institut for Matematiske Fag Mikael Rørdam

Mat 3MI — Mål og Integralteori – F02 — Ugeseddel nr. 5

Forelæsningerne i uge 9: Første time gik med at læse §2 om målelige afbildninger færdigt. Herefter begyndte vi på §4.1 om integralet af positive funktioner frem til og med side 4.4. Bemærk, at vi definerer integralet af en positive målelig funktion ved (∗) og (∗∗) side 4.2–4.3 i noterne. Det vises herefter, at dette integral er veldefineret, og at det opfylder (i), (ii) og (iii) i Hovedsætning 4.2. Endelig gælder et entydighedsresultat, at integralet er entydigt bestemt ved at opfylde (i), (ii) og (iii) i Hovedsætning 4.2. Den vigtigste sætning i §4.1 er Lebesgues Monotonisætning, som gennemgås næste gang. Beviserne for Sætning 4.1 og Lemma 1 blev gennemgået kursorisk til forelæsningerne (læs selv alle detaljer i bogen). Entydighedsdelen af Hovedsætning 4.2 gennemgås til regneøvelserne, og beviset for Hovedsætning 4.2 (ii) og (iii) gennemgås i næste uge.

Forelæsningerne i uge 10: Jeg er til en konference i denne uge, og forelæsningerne holdes af Nadia Slavila Larsen. §4.1 læses færdigt.

Øvelserne i uge 11: Gennemgå entydighedsdelen af Hovedsætning 4.2 (dvs. afsnittet Analyse af problemstillingen s. 4.3). Regn herefter de tre supplerende opgaver og opgaverne \underline{4.7}, 4.8^{∗}, 4.11 og 4.13 i bogen.

Supplerende opgave 1^{∗}: Lad X være et metrisk rum og lad A være en Boreldelmængde af X. Vis at 𝔹(X)_{A} = 𝔹(A). [Vink: Bemærk først, at A er et metrisk rum med metrikken nedarvet fra X, så 𝔹(A) er defineret. Vis identiteten ved at vise de to inklusioner: 𝔹(X)_{A} ⊆ 𝔹(A) og 𝔹(X)_{A} ⊇ 𝔹(A). Ad “⊆”: Sæt

𝔼̃ = {E ∈ 𝔹(X) | E ∩ A ∈ 𝔹(A)}.

Vis at G_{X} ⊆ 𝔼̃ og herefter, at 𝔹(X) = 𝔼̃. Ad “⊇”: Vis først, at G_{A} ⊆ 𝔹(X)_{A}.]

\underline{Supplerende opgave 2}: (i). Findes en følge \{f_{n}\} af funktioner i L(ℝ, 𝔹(ℝ), m), således at f_{n} konvergerer punktvis mod en funktion f i L(ℝ, 𝔹(ℝ), m), og således at

∫_{ℝ} f_{n}dm = 1/n, ∫_{ℝ} fdm = 1?

(ii). Samme spørgsmål, hvor L(ℝ, 𝔹(ℝ), m) erstattes med M^{+}(ℝ, 𝔹(ℝ)).

Supplerende opgave 3^{∗}: Lad (X, 𝔼, μ) være et målrum, og lad s: X → ℝ^{+} være en simpel, målelig funktion. Vis at

∫_{X} s dμ = ∫_{0}^{∞} μ(s^{−1}(]t, ∞[)) dt.

(Integralet på højresiden kan opfattes enten som et Riemann integral eller som et Lebesgue integral — du bestemmer!)

Eksamenstilmelding sker elektronisk på WWW-adressen:

http://www.ku.dk/selvbetjening/ i uge 9 og 10.