Matematisk Afdeling 20. februar 2002 Institut for Matematiske Fag Mikael Rørdam

Mat 3MI — Mål og Integralteori – F02 — Ugeseddel nr. 4

Forelæsningerne i uge 8: Her blev §§2.1–2.2 (fraregnet Sætning 2.4) om målelige afbildnigner gennemgået.

Vis selv alle identiteter vedrørende urbilleder (= originalmængder), f.eks. midt i beviset for Sætning 2.2. Er du i tvivl om hvordan man gør, så spørg din instruktor eller mig. Se også de supplerende noter “Lidt mængdelære. Billeder og urbilleder”, som kan downloades fra 3MI-hjemmesiden (se under Lærebøger og Pensum).

I §2.2 benyttes lim sup og lim inf af en reel talfølge. Man kan læse mere om dette i de supplerende noter “De reelle tal: limes superior of limes inferior”, som ligeledes kan downloades fra 3MI-hjemmesiden.

Forelæsningerne i uge 9: §2 gøres færdigt, og herefter gennemgås §4.1 om integration af simple og positive funktioner.

Hjemmeopgave — afleveres i uge 10: Opgave 2, spm. (i), (v) og (vi) fra 3MI-eksa-menssættet januar 1999 (forårspensum) (kan hentes på hjemmesiden og er vedhæftet denne ugeseddel).

Øvelserne i uge 10: Supplerende Opgave 1 og opgaverne: 4.3, 4.4 og 4.6. Særligt interesserede kan regne Supplerende Opgave 2.

Supplerende Opgave 1: Betragt en funktion f: [a, b] → ℝ^{+}. Det vil blive vist senere i kurset, at hvis f er Riemann-integrabel, så er f også Lebesgue-integrabel, og de to integraler stemmer overens. Dette kan bruges i det følgende!

Det vises i denne opgave, at der findes en Lebesgue-integrabel funktion f: [0, 1] → ℝ^{+}, som ikke er Riemann-integrabel og yderligere har det sådan, at der ikke findes en Riemannintegrabel funktion g: [0, 1] → ℝ^{+}, så f = g n.o.

(i) Vis, at hvis U er en åben tæt delmængde af intervallet [0,1], og hvis N er en Lebesguenulmængde, så er U \ N tæt i [0,1].

(ii) Lad E være en tæt Borel-delmængde af [0,1], og antag, at m(E) < 1. Vis, at hvis g: [0, 1] → ℝ^{+} er en funktion, som opfylder 1_{E} ≤ g og 1_{E} = g n.o., så er g ikke Riemann-integrabel. [Vink: Vis først, at enhver oversum for g er ≥ 1. Benyt herefter, at hvis g var Riemann-integrabel, så ville dens Lebesgue-integral være lig med dens Riemann-integral.]

(iii) Vis at der findes en Lebesgue-integrabel funktion f: [0, 1] → ℝ^{+}, således, at der ikke findes nogen Riemmann-integrabel funktion g: [0, 1] → ℝ^{+}, som opfylder g = f n.o.

[Vink: Prøv med f = 1_{U} for en passende mængde U, jvf. Opgave 3 på Ugeseddel 2.]

Supplerende Opgave 2*: (Denne opgave er en fortsættelse af Supplerende Opgave 3 fra Ugeseddel 3.) Antag A opfylder (i), (ii), og (iii) i Sætningen fra Ugeseddel 3. Vis at:

(i) alle simple funktioner i M^{+}(X, 𝔹(X)) tilhører A. [Vink: Benyt resultatet i Supplerende Opgave 3 (iii) fra Ugeseddel 3.]

(ii) alle Borelfunktioner f: X → ℝ^{+} tilhører A. [Vink: Benyt en passende sætning i §4.1.]

(iii) B(X, ℂ) ⊆ A.

3MI–Eksamen januar 1999 — Opgave 2 (25 point) Denne opgave består af seks korte spørgsmål, som ikke afhænger af hinanden.

(i) Bestem

∫_{ℝ} ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n^{3}} 1_{(0,n]} dm,

og giv en omhyggelig begrundelse for dit svar.

(ii) Betragt det målbare rum (ℤ, P (ℤ)), og betragt, for hvert a ∈ ℤ, Dirac-målet ε_{a} i a. Lad f: ℤ → ℝ være bestemt ved f(x) = cos(x^{2}). Beregn

∫_{ℤ} f d(ε_{−1} + ε_{0} + ε_{1}).

(iii) Lad f_{n}: [0, 1] → ℝ være en følge af funktioner, som er integrable med hensyn til Lebesguemålet m. Antag videre, at f_{n} → 0 punktvis. Kan man slutte, at

lim_{n→∞} ∫_{0}^{1} f_{n}(x)dx = 0 ?

Giv et bevis eller et modeksempel.

(iv) Bestem

lim_{n→∞} ∫_{0}^{∞} sin(x)(\sqrt{x^{2} + 1/n} − x)e^{−x}dx,

og giv en omhyggelig begrundelse for dit svar.

(v) Lad f, g: ℝ → ℝ være Borel funktioner, som opfylder f = g m-n.o. Kan man slutte, at f(x) = g(x) for alle x ∈ ℝ? Giv et bevis eller et modeksempel.

(vi) Lad f, g: ℝ → ℝ være kontinuerte funktioner, som opfylder f = g m-n.o. Kan man slutte, at f(x) = g(x) for alle x ∈ ℝ? Giv et bevis eller et modeksempel.