Matematisk Afdeling 6. februar 2002 Institut for Matematiske Fag Mikael Rørdam

Mat 3MI — Mål og Integralteori – F02 — Ugeseddel nr. 2

Forelæsningerne i uge 6: Den første time, godt og vel, gik med løst og fast om kurset, og en introduktion til kurset frit efter §i i noterne. §0 om regning med ±∞ overlades til selvstudium. Resten af tiden gik med §1 om σ-algebraer — og vi blev ikke helt færdige med det afsnit.

Bemærk især den vigtige Sætning 1.2 og definitionen af Borel-σ-algebraen, 𝔹(ℝ), og mere generelt, Borel-σ-algebraen 𝔹(X) for et metrisk (eller topologisk) rum X.

Forelæsningerne i uge 7: §1 afrundes og vi læser herefter §3 om mål. (§2 om målelige afbildninger gennemgås i uge 8.)

Hjemmeopgave — afleveres i uge 8: 1.7 og 3.1.

Øvelserne i uge 8: De tre supplerende opgaver og opgaverne: 3.3*, 3.4*, 3.5, 3.8*, 3.9*, 3.12, 3.13.

Opgaver markeret med * regnes, hvis tiden tillader det.

Opgave 1: Vis at de tre mængder

ℚ,  ⋃_{n=1}^{∞}[n, n + 1/n^{2}],  ⋃_{n=1}^{∞}[n, n + 4/n^{2}]

er Borelmængder. Beregn Lebesguemålet af hver af mængderne.

Opgave 2: Vis, at m(U) > 0 for enhver ikke-tom åben delmængde U af ℝ. Vis også, at m_{k}(U) > 0 for enhver ikke-tom åben delmængde U af ℝ^{k} (hvor m_{k} er Lebesguemålet på ℝ^{k}.

Opgave 3: Lad {x_{1}, x_{2}, x_{3}, … } være en nummerering af den tællelig mængde ℚ∩]0, 1[. For hvert ε > 0 sæt

U_{ε} = ]0, 1[ ∩( ⋃_{n=1}^{∞}]x_{n} − ε2^{−n−1}, x_{n} + ε2^{−n−1}[ ).

Vis at m(U_{ε}) ≤ ε, U_{ε} er åben, og at \overline{U_{ε}} = [0, 1].

Sæt F_{ε} = [0, 1] \ U_{ε}. Vis at 1 ≥ m(F_{ε}) ≥ 1 − ε, F_{ε} er afsluttet, og F_{ε}^{∘} = ∅.