Matematisk Afdeling 8. maj 2002 Institut for Matematiske Fag Mikael Rørdam

Mat 3MI — Mål og Integralteori – F02 — Ugeseddel nr. 13

Forelæsningerne i uge 19: Her blev Fubini og Tonnelli’s sætninger gennemgået. Herefter gav jeg en oversigt over resten af pensum i kurset (uden beviser) af hensyn til især deltagerne på mandagsholdet, som skal regne opgaver om L_{p}-rum i næste uge.

Forelæsningerne i uge 20–21: Her gennemgås §7 om L_{p}-rum (inklusive beviser).

Spørgetime Der holdes spørgetime fredag d. 24. maj kl. 14:15. Lokalet er ikke bestemt i skrivende stund (det annonceres på hjemmesiden og til næste forelæsning.

Hjemmeopgave — afleveres i uge 20/21: Opgave 4 og 5 3MI-eksamenen januar 2002.

Øvelserne mandag d. 13/5, onsdag d. 22/5 og fredag d. 24/5 — de sidste: Her regnes supplerende opgave 1, 3 og 4 og opgaverne: 7.10^{∗}, 7.12, 7.13, 7.15^{†}, 7.16, 7.17^{∗} og 7.18^{∗}. (^{∗} = hvis tiden tillader det.)

(†) Vink: Benyt Hölder’s ulighed til at vise, at hvis r = tq + (1 − t)s, hvor 0 < t < 1, så er

∫_{X} |f|^{r}dμ ≤ ( ∫_{X} |f|^{q}dμ)^{t}( ∫_{X} |f|^{s}dμ)^{1−t}.

Stilopgaver: Kortlisten med 5 stilopgaver er nu offenliggjort. (Se hjemmesiden:

www.math.ku.dk/∼rordam/stilopgaver.html) Stilopgaven vil være en af følgende fem:

• Integral af reelle funktioner (især Fatou’s Lemma og Lebesgue’s sætning om majoriseret konvergens).

• Entydighed af Lebesguemålet.

• Produktmål (Sætning 6.6, Lemma 6.7 og omtale af produkt-σ-algebraen).

• Fischer’s fuldstændighedssætning.

• Tæthed af C_{c}(ℝ^{k}) i L_{p}. (Sætning 7.28 og s. 7.19).

Supplerende opgave 1: Lad p ≥ 1, lad n ∈ ℕ, og lad x_{1}, x_{2}, …, x_{n} ∈ ℂ. Vis uligheden

|\frac{x_{1} + x_{2} + ⋯ + x_{n}}{n} |^{p} ≤ \frac{|x_{1}|^{p} + |x_{2}|^{p} + ⋯ + |x_{n}|^{p}}{n} .

[Vink: Betragt målrummet (X, P (X), μ), hvor X = {1, 2, …, n}, μ er tællemålet divideret med n, og benyt Hölder på passende funktioner f, g: X → ℂ.]

Supplerende opgave 2: Lad μ være et sandsynlighedsmål på ([0, 1], 𝔹([0, 1])), dvs. μ er et mål, som opfylder μ([0, 1]) = 1. Sæt

g(s) = ∫_{[0,1]} \frac{1}{1 + sx}dμ(x), s ∈ [0, ∞).

(i) Vis at g er en kontinuert og aftagende funktion med g(0) = 1.

(ii) Vis at lim_{s→∞} g(s) = μ({0}).

(iii) Giv tre forskellige eksempler på sandsynlighedsmål på ([0, 1], 𝔹([0, 1])).

Supplerende opgave 3: Lad (X, 𝔼, μ) være et målrum, og lad 1 ≤ p < ∞. Lad M være en delmængde af L_{p}(μ). Vis at f ligger i afslutningen af M (m.h.t. ∥ · ∥_{p}) hvis og kun hvis der findes en følge {f_{n}}_{n=1}^{∞} i M, således, at f_{n} → f punktvis n.o. og i p-middel.

Supplerende opgave 4: Betragt målrummet ([0, 1], 𝔹([0, 1]), m) og de tilhørende rum L_{p}([0, 1], m).

(i) Vis at ∥f∥_{1} ≤ ∥f∥_{2} for alle f ∈ L_{2}([0, 1], m).

(ii) Gør rede for, at L_{2}([0, 1], m) ⊆ L_{1}([0, 1], m).

(iii) Lad K være et positiv tal. Vis at {f ∈ L_{2}([0, 1], m) : ∥f∥_{2} ≤ K} er en afsluttet delmængde af L_{1}([0, 1], m) m.h.t. ∥·∥_{1}. [Vink: Benyt Supplerende opgave 4 og Fatou’s Lemma.]

Supplerende opgave 5: Lad (X, 𝔼, μ) være et målrum. Gør rede for, at L_{2}(μ) udstyret med det indre produkt

⟨[f], [g]⟩ = ∫_{X} f\overline{g} dμ,

er et Hilbertrum. (Dette blev i store træk gennemgået ved forelæsningen.)