Supplerende noter til 3MI Mikael Rørdam Mål og integralteori

Denne fremstilling er baseret på s. 28–34 i G.B. Folland’s “Real Analysis” og på noter udarbejdet af Uffe Haagerup.

1 Eksistensen af Lebesguemålet på ℝ

Konstruktionen af Lebesguemålet går via ydre mål. Disse er knapt så fine som mål, ved det, at de ikke nødvendigvis er tælleligt additive, men blot tælleligt subadditive:

Definition 1 Et ydre mål μ^{∗} på en mængde X er en funktion μ^{∗}: P (X) → [0, ∞], som opfylder

(i) μ^{∗}(∅) = 0,

(ii) μ^{∗}(A) ≤ μ^{∗}(B), hvis A, B ∈ P (X) og A ⊆ B,

(iii) μ^{∗}(⋃_{n=1}^{∞} A_{n}) ≤ ∑_{n=1}^{∞} μ^{∗}(A_{n}) for enhver følge {A_{n}}_{n=1}^{∞} ⊆ P (X).

Til et ydre mål betragtes en særlig familie af delmængder af X:

Definition 2 Lad μ^{∗} være et ydre mål på mængden X. En delmængde E af X kaldes μ^{∗}-målelig, hvis der for alle A ∈ P (X) gæder

μ^{∗}(A) = μ^{∗}(A ∩ E) + μ^{∗}(A ∩ ∁E).  (1)

Definition 1 (iii) giver μ^{∗}(A) ≤ μ^{∗}(A ∩ E) + μ^{∗}(A ∩ ∁E) for ethvert par A, E ∈ P (X). Vi har derfor, at E er μ^{∗}-målelig hvis og kun hvis den anden ulighed,

μ^{∗}(A) ≥ μ^{∗}(A ∩ E) + μ^{∗}(A ∩ ∁E),  (2)

gælder for alle A ∈ P (X).

Definition 3 En familie A af delmængder af en mængde X kaldes en algebra, hvis

(i) X ∈ A,

(ii) A ∈ A medfører ∁A ∈ A,

(iii) A, B ∈ A medfører A ∪ B ∈ A.

Enhver σ-algebra er en algebra. Det modsatte gælder ikke, men vi har følgende lemma, hvis bevis overlades til læseren (= Opgave 1, som regnes til øvelserne):

Lemma 4 Lad A være en algebra på mængden X, og antag A er afsluttet under tællelige disjunkte foreninger, dvs. for alle følger {A_{n}}_{n=1}^{∞} af parvis disjunkte mængder i A gælder ⋃_{n=1}^{∞} A_{n} ∈ A.

Da er A en σ-algebra.

Theorem 5 (Carathéodory’s Sætning) Lad μ^{∗} være et ydre mål på en mængde X. Lad 𝔼 være familien af alle μ^{∗}-målelige delmængder af X. Lad μ være restriktionen af μ^{∗} til 𝔼, dvs. μ: 𝔼 → [0, ∞] og μ(E) = μ^{∗}(E) for E ∈ 𝔼.

Da er (X, 𝔼, μ) et målrum.

Bevis: Det skal vises, at 𝔼 er en σ-algebra, og at μ er et mål på 𝔼. Det følger umiddelbart af (1), at E ∈ 𝔼 medfører ∁E ∈ 𝔼, og at ∅ og X begge ligger i 𝔼.

For E, F ∈ 𝔼 og A ∈ P (X) har vi

μ^{∗}(A) = μ^{∗}(A ∩ E) + μ^{∗}(A ∩ ∁E)
= μ^{∗}(A ∩ E ∩ F) + μ^{∗}(A ∩ E ∩ ∁F) + μ^{∗}(A ∩ ∁E ∩ F) + μ^{∗}(A ∩ ∁E ∩ ∁F)
≥ μ^{∗} ((A ∩ E ∩ F) ∪ (A ∩ E ∩ ∁F) ∪ (A ∩ ∁E ∩ F)) + μ^{∗}(A ∩ ∁E ∩ ∁F)
= μ^{∗}(A ∩ (E ∪ F)) + μ^{∗}(A ∩ ∁(E ∪ F)).

Dette viser, at E, F ∈ 𝔼 medfører E ∪ F ∈ 𝔼. Det er nu vist, at 𝔼 er en algebra.

Lad nu {E_{n}}_{n=1}^{∞} være en følge af parvis disjunkte mængder beliggende i 𝔼. Sæt F_{n} = ⋃_{j=1}^{n} E_{j}, og bemærk, at F_{n} ∈ 𝔼, da 𝔼 er en algebra. Sæt F = ⋃_{j=1}^{∞} E_{j} (= ⋃_{n=1}^{∞} F_{n}). Hovedslaget, der skal udkæmpes i dette bevis, består i at vise:

μ^{∗}(A) = μ^{∗}(A ∩ F) + μ^{∗}(A ∩ ∁F) = ∑_{j=1}^{∞} μ^{∗}(A ∩ E_{j}) + μ^{∗}(A ∩ ∁F),  (3)

for alle A ∈ P (X).

For at se (3), bemærk først

A = (A ∩ F) ∪ (A ∩ ∁F) = (⋃_{j=1}^{∞} A ∩ E_{j}) ∪ (A ∩ ∁F).

Sammen med Definition 1 (iii) giver dette

μ^{∗}(A) ≤ μ^{∗}(A ∩ F) + μ^{∗}(A ∩ ∁F) ≤ ∑_{j=1}^{∞} μ^{∗}(A ∩ E_{j}) + μ^{∗}(A ∩ ∁F).  (4)

Omvendt, for alle n ≥ 2 har vi

μ^{∗}(A ∩ F_{n}) = μ^{∗}(A ∩ F_{n} ∩ E_{n}) + μ^{∗}(A ∩ F_{n} ∩ ∁E_{n}) = μ^{∗}(A ∩ E_{n}) + μ^{∗}(A ∩ F_{n−1}).

Det følger heraf ved induktion, at

μ^{∗}(A ∩ F_{n}) = ∑_{j=1}^{n} μ^{∗}(A ∩ E_{j}),

for alle n ≥ 1. (Til grundtrinnet n = 1 benyttes at F_{1} = E_{1}.) Ved at benytte ∁F ⊆ ∁F_{n} og (ii) i Definition 1 får vi

μ^{∗}(A) = μ^{∗}(A ∩ F_{n}) + μ^{∗}(A ∩ ∁F_{n})
= ∑_{j=1}^{n} μ^{∗}(A ∩ E_{j}) + μ^{∗}(A ∩ ∁F_{n})

≥ ∑_{j=1}^{n} μ^{∗}(A ∩ E_{j}) + μ^{∗}(A ∩ ∁F).

Da dette gælder for alle n ∈ ℕ, har vi ∑_{j=1}^{∞} μ^{∗}(A ∩ E_{j}) + μ^{∗}(A ∩ ∁F) ≤ μ^{∗}(A). Sammen med (4) viser dette (3).

Det følger umiddelbart af (3), at F ∈ 𝔼. Derfor er 𝔼 afsluttet under tællelige disjunkte foreninger, så 𝔼 er en σ-algebra jvf. Lemma 4. Sættes A = ⋃_{j=1}^{∞} E_{j} (= F) i (3), får vi

μ(⋃_{j=1}^{∞} E_{j}) = ∑_{j=1}^{∞} μ(E_{j}).

(Husk at μ(E) = μ^{∗}(E) for E ∈ 𝔼.) Dette viser, at μ er et mål på σ-algebraen 𝔼. □

Vi vender os nu til konstruktionen af Lebesguemålet på den reelle akse.

Definition 6 Et h-interval er et delinterval af ℝ af formen (a, b], (a, ∞), eller ∅, hvor −∞ ≤ a < b < ∞. Mængden af alle h-intervaller benævnes med 𝕀.

Bemærk, at hvis I er et h-interval, så er ∁I enten igen et h-interval eller en disjunkt forening af to h-intervaller. Thi i tilfældet hvor I = (a, b] og −∞ < a < b < ∞, da er ∁I en disjunkt forening af to h-intervaller, og i alle andre tilfælde er ∁I et h-interval. Snitmængden af to h-intervaller er igen et h-interval.

Definition 7 Definer ℓ: 𝕀 → [0, ∞] ved

ℓ((a, b]) = b − a, ℓ((a, ∞)) = ∞, ℓ(∅) = 0.

Definer m^{∗}: P (ℝ) → [0, ∞] ved

m^{∗}(A) = inf {∑_{j=1}^{∞} ℓ(I_{j}) | I_{j} ∈ 𝕀, A ⊆ ⋃_{j=1}^{∞} I_{j}} .  (5)

Strategien er nu at vise, at m^{∗} er et ydre mål, at alle h-intervaller er m^{∗}-målelige, og at m^{∗}(I) = ℓ(I) for alle h-intervaller I. Dette gøres i nedenstående lemmaer. Herefter giver Carathéodory’s sætning det ønskede resultat om eksistensen af Lebesguemålet (Theorem 13).

Lemma 8 m^{∗} er et ydre mål.

Bevis: Det skal vises, at (i), (ii) og (iii) i Definition 1 holder. (ii) er en umiddelbar konsekvens af definitionen af m^{∗} (overvej dette!). (i) indses let ved f.eks. at vælge I_{1} = I_{2} = I_{3} = ⋯ = ∅.

For at vise (iii), lad {A_{n}}_{n=1}^{∞} være en vilkårlig følge i P (ℝ). Hvis m^{∗}(A_{n}) = ∞ for mindst et n, så gælder uligheden m^{∗}(⋃_{n=1}^{∞} A_{n}) ≤ ∑_{n=1}^{∞} m^{∗}(A_{n}) trivielt. Antag derfor gerne, at m^{∗}(A_{n}) < ∞ for alle n. Lad ε > 0. Find for alle n følger {I_{n,j}}_{j=1}^{∞} i 𝕀, så

A_{n} ⊆ ⋃_{j=1}^{∞} I_{n,j},  ∑_{j=1}^{∞} ℓ(I_{n,j}) ≤ m^{∗}(A_{n}) + 2^{−n}ε.

Da er {I_{n,j}}_{j,n=1}^{∞} en tællelig familie i 𝕀, og

⋃_{j=1}^{∞} A_{n} ⊆ ⋃_{j,n=1}^{∞} I_{n,j}, ∑_{j,n=1}^{∞} ℓ(I_{n,j}) ≤ ∑_{n=1}^{∞}(m^{∗}(A_{n}) + 2^{−n}ε) = ∑_{n=1}^{∞} m^{∗}(A_{n}) + ε.

Dette viser, at m^{∗}(⋃_{n=1}^{∞} A_{n}) ≤ ∑_{n=1}^{∞} m^{∗}(A_{n}) + ε. Da dette holder for alle ε > 0 følger det ønskede: m^{∗}(⋃_{n=1}^{∞} A_{n}) ≤ ∑_{n=1}^{∞} m^{∗}(A_{n}). □

Lemma 9 Alle h-intervaller er m^{∗}-målelige.

Bevis: Lad I være et h-interval. Vi viser, at I er m^{∗}-målelig ved at eftervise (2).

Lad A ∈ P (ℝ), og betragt hertil en vilkårlig følge {J_{n}}_{n=1}^{∞} af h-intervaller så A ⊆ ⋃_{n=1}^{∞} J_{n}. Som tidligere bemærket er ∁I foreningen af to disjunkte h-intervaller I′ og I′′ (det ene af disse h-intervaller kunne være den tomme mængde). Sæt

K_{n} = I ∩ J_{n},  K′_{n} = I′ ∩ J_{n},  K′′_{n} = I′′ ∩ J_{n}.

Da er K_{n}, K′_{n}, K′′_{n} parvis disjunkte h-intervaller, og J_{n} = K_{n} ∪ K′_{n} ∪ K′′_{n}. Derfor er ℓ(J_{n}) = ℓ(K_{n}) + ℓ(K′_{n}) + ℓ(K′′_{n}) (overvej). Endvidere gælder

A ∩ I ⊆ ⋃_{n=1}^{∞} K_{n},  A ∩ I′ ⊆ ⋃_{n=1}^{∞} K′_{n},  A ∩ I′′ ⊆ ⋃_{n=1}^{∞} K′′_{n}.

Samlet har vi

∑_{n=1}^{∞} ℓ(J_{n}) = ∑_{n=1}^{∞} ℓ(K_{n}) + ∑_{n=1}^{∞} ℓ(K′_{n}) + ∑_{n=1}^{∞} ℓ(K′′_{n})
≥ m^{∗}(A ∩ I) + m^{∗}(A ∩ I′) + m^{∗}(A ∩ I′′),

hvor ≥ skyldes (5). Da overdækningen {J_{n}}_{n=1}^{∞} af A var vilkårlig, kan vi igen ifølge (5) konkludere, at

m^{∗}(A) ≥ m^{∗}(A ∩ I) + m^{∗}(A ∩ I′) + m^{∗}(A ∩ I′′)
≥ m^{∗}(A ∩ I) + m^{∗}(A ∩ (I′ ∪ I′′))
= m^{∗}(A ∩ I) + m^{∗}(A ∩ ∁I).

Det ses nu, at (2) er opfyldt, så I er m^{∗}-målelig. □

Lemma 10 Hvis

[a, b] ⊆ ⋃_{j=1}^{n}(a_{j}, b_{j}),

hvor a ≤ b og a_{j} < b_{j} for j = 1, 2, …, n, så er

b − a ≤ ∑_{j=1}^{n}(b_{j} − a_{j}).

Bevis: Beviset føres ved induktion efter n. Overvej selv situationen for n = 1. Antag n ≥ 2, at [a, b] ⊆ ⋃_{j=1}^{n}(a_{j}, b_{j}), og at påstanden i lemmaet er vist for alle overdækninger med færre end n intervaller. Find j_{0} ∈ {1, 2, … n} så a ∈ (a_{j_{0}}, b_{j_{0}}). Hvis b_{j_{0}} > b, så er [a, b] ⊆ (a_{j_{0}}, b_{j_{0}}), og sagen er klar!

Antag b_{j_{0}} ≤ b. Da er

[b_{j_{0}}, b] = [a, b] \ (a_{j_{0}}, b_{j_{0}}) ⊆ ⋃_{j≠j_{0}}(a_{j}, b_{j}).

Induktionsantagelsen giver derfor b − b_{j_{0}} ≤ ∑_{j≠j_{0}}(b_{j} − a_{j}). Dermed har vi

b − a = (b − b_{j_{0}}) + (b_{j_{0}} − a) ≤ (b − b_{j_{0}}) + (b_{j_{0}} − a_{j_{0}})
≤ ∑_{j≠j_{0}}(b_{j} − a_{j}) + (b_{j_{0}} − a_{j_{0}}) = ∑_{j=1}^{n}(b_{j} − a_{j}). □

Lemma 11 Lad I, I_{1}, I_{2}, I_{3}, … være h-intervaller, således at I ⊆ ⋃_{n=1}^{∞} I_{n}. Da gælder

ℓ(I) ≤ ∑_{n=1}^{∞} ℓ(I_{n}).

Bevis: Hvis I = ∅, så er der intet at vise. Antag derfor gerne, at I ≠ ∅. Endvidere, hvis ℓ(I_{n}) = ∞ for mindst et n, så er der heller intet at vise. Vi kan derfor også antage, at ℓ(I_{n}) < ∞ for alle n. Dvs. I_{n} = (a_{n}, b_{n}], hvor −∞ < a_{n} < b_{n} < ∞ (idet vi også smider alle tomme mængder blandt intervallerne I_{1}, I_{2}, … ud).

Bemærk, at

ℓ(I) = sup{b′ − a′ | a′, b′ ∈ I, a′ < b′},  (6)

når I ≠ ∅. Lad a′, b′ ∈ I med a′ < b′ være givet.

Lad ε > 0, og sæt a′_{n} = a_{n}, og b′_{n} = b_{n}+ε2^{−n}. Da er I_{n} = (a_{n}, b_{n}] ⊆ (a′_{n}, b′_{n}), så [a′, b′] ⊆ I ⊆ ⋃_{j=1}^{∞}(a′_{j}, b′_{j}). Da [a′, b′] er kompakt giver Heine-Borel’s sætning [a′, b′] ⊆ ⋃_{j=1}^{n}(a′_{j}, b′_{j}) for et passende stort n.

Det følger nu fra Lemma 10, at

b′ − a′ ≤ ∑_{j=1}^{n}(b′_{j} − a′_{j})

≤ ∑_{j=1}^{∞}(b_{j} + ε2^{−j} − a_{j}) = ∑_{j=1}^{∞}(ℓ(I_{j}) + ε2^{−j}) = ∑_{j=1}^{∞} ℓ(I_{j}) + ε.

Da ε > 0 var vilkårlig, får vi b′ − a′ ≤ ∑_{j=1}^{∞} ℓ(I_{j}), og da a′, b′ også var vilkårlige følger det ønskede af (6). □

Lemma 12 For ethvert h-interval I er m^{∗}(I) = ℓ(I).

Bevis: Sæt I_{1} = I, I_{2} = I_{3} = ⋯ = ∅. Da er I_{1}, I_{2}, I_{3}, … h-intervaller og I ⊆ ⋃_{n=1}^{∞} I_{n}, så

m^{∗}(I) ≤ ∑_{n=1}^{∞} ℓ(I_{n}) = ℓ(I)

ifølge definitionen af m^{∗}. Omvendt, hvis {I_{n}}_{n=1}^{∞} er en følge af h-intervaller med I ⊆ ⋃_{n=1}^{∞} I_{n}, da er ∑_{n=1}^{∞} ℓ(I_{n}) ≥ ℓ(I) ifølge Lemma 11. Dette viser, at m^{∗}(I) ≥ ℓ(I). □

Theorem 13 Der findes et målrum (ℝ, 𝕃, m), som opfylder 𝔹(ℝ) ⊆ 𝕃 og

m((a, b]) = b − a,

for alle a, b med −∞ ≤ a < b < ∞.

Bevis: Lad 𝕃 være mængden af alle m^{∗}-målelige mængder, og lad m være restriktionen af m^{∗} til 𝕃. Carathéodory’s sætning giver, at (ℝ, 𝕃, m) er et målrum. Lemma 9 giver 𝕀 ⊆ 𝕃. Da σ-algebraen frembragt af 𝕀 er lig med Borel-σ-algebraen 𝔹(ℝ) (jvf. Opgave 1.2), så giver Sætning 1.2 i noterne, at 𝔹(ℝ) = σ(𝕀) ⊆ 𝕃.

Endelig, hvis −∞ ≤ a < b < ∞, så er (a, b] et h-interval, og ved at udnytte Lemma 12 får vi

m((a, b]) = m^{∗}((a, b]) = ℓ((a, b]) = b − a. □

Ved at tage restriktionen af målet m til Borel-σ-algebraen 𝔹(ℝ) får vi følgende korollar til Theorem 13:

Korollar 14 Der findes et mål m defineret på σ-algebraen 𝔹(ℝ), som opfylder

m((a, b]) = b − a,

for alle a, b med −∞ ≤ a < b < ∞.

Hovedsætning 5.1 i noterne siger, at målet m i Korollar 14 tillige er entydigt.

Eksistensen af Lebesguemålet på ℝ^{k} kan vises på en tilsvarende, men mere besværlig, måde. Istedet vil vi, når tiden er moden, konstruere Lebesguemålet på ℝ^{k} ved at bruge teorien for produktmål, som udvikles i noternes §6.

2 Fuldstændige mål

Målet i Carathéodory’s Sætning — og dermed også Lebesguemålet m defineret på σ - algebraen 𝕃 — har en særlig fin og nyttig egenskab kaldet fuldstændighed. Denne egenskab defineres formelt således:

Definition 15 Et målrum (X, 𝔼, μ) kaldes fuldstændigt, hvis alle μ-nulmængder ligger i 𝔼.

Bemærk, at (X, 𝔼, μ) er fuldstændig, hvis og kun hvis det for alle E ∈ 𝔼 med μ(E) = 0, og alle N ⊆ E gælder, at N ∈ 𝔼. Af og til vil man sige, at μ er fuldstændig i betydningen (X, 𝔼, μ) er fuldstændig, når X og 𝔼 fremgår af sammenhængen.

Fuldstændige mål er diskuteret i opgaverne 3.15–3.18 i noterne. Fuldstændige mål er bekvemme at arbejde med, bl.a. p.g.a. følgende sætning, som til dels er bevist i Opgave 3.18.

Sætning 16 Lad (X, 𝔼, μ) være et fuldstændigt målrum, og lad (Y, 𝔽, ν) være et vilkårligt andet målrum (ikke nødvendigvist fuldstændigt). Hvis f: X → Y er 𝔼-𝔽-målelig, og hvis g: X → Y opfylder g = f μ-n.o., så er g også 𝔼-𝔽-målelig.

Til ethvert målrum (X, 𝔼, μ) kan man konstruere et nyt målrum (X, 𝔼̄, μ̄), som er fuldstændigt, og som opfylder 𝔼 ⊆ 𝔼̄ og μ̄|_{𝔼} = μ (se Opgave 3.17 eller Opgave 4 nedenfor). Dette nye målrum kaldes en fuldstændiggørelse af (X, 𝔼, μ). Lebesguesmålet konstrueret i Theorem 13 er, som vist nedenfor, automatisk fuldstædigt, så vi får ikke brug for denne fuldstændiggørelsesmaskine.

Sætning 17 Målrummet (X, 𝔼, μ) fra Carathéodory’s Sætning (Theorem 5) er fuldstændigt.

Bevis: Vi benytter notationen fra Theorem 5, hvor bl.a. μ^{∗} er et ydre mål på mængden X, 𝔼 er mængden af μ^{∗}-målelige mængder, og μ er restriktionen af μ^{∗} til 𝔼.

Lad E ∈ 𝔼 og N ⊆ E med μ(E) = 0 være givet, og lad A ∈ P (X). Da er

μ^{∗}(A ∩ N) + μ^{∗}(A ∩ ∁N) ≤ μ^{∗}(E) + μ^{∗}(A) = μ^{∗}(A).

Betingelsen (2) er således opfyldt for N, så N ∈ 𝔼. Dette viser, at μ er fuldstændig. □

Korollar 18 Lebesguemålet m defineret på σ-algebraen 𝕃 (defineret i Theorem 13) er fuldstændigt.

Bevis: Dette følger umiddelbart af Sætning 17, idet målrummet (ℝ, 𝕃, m) kommer fra et ydre mål via Carathéodory’s Sætning. □

Mængderne i σ-algebraen 𝕃 kaldes Lebesguemålelige mængder. Alle Borel-delmængder af ℝ er således Lebesguemålelige. Det omvendte gælder ikke. Faktisk har vi

𝔹(ℝ) ⊊ 𝕃 ⊊ P (ℝ).  (7)

Den første af disse ægte inklusioner kan ses ved en kardinalitetsbetragtning, idet card(𝕃) = card(P (ℝ)) og card(𝔹(ℝ)) = card(ℝ). Den første af disse identiteter kan indses ved at benytte Cantor’s mængde Z (se Eksempel 5.22 i noterne). Mængden Z er kompakt (og dermed Z ∈ 𝔹(ℝ) ⊆ 𝕃), m(Z) = 0, og card(Z) = card(ℝ). Da (ℝ, 𝕃, m) er fuldstændig, har vi P (Z) ⊆ 𝕃. Dette giver card(P (ℝ)) = card(P (Z)) ≤ card(𝕃) ≤ card(P (ℝ)). Den anden kardinalitetsidentitet er noget mere kompliceret.

Den anden ægte inklusion i (7) følger umiddelbart af Vitali’s Sætning (Sætning 5.30 i noterne).

En funktion f: ℝ → ℝ, hhv. f: ℝ → ℂ, kaldes Lebesguemålelig, hvis den er 𝕃-𝔹(ℝ)-målelig, hhv. 𝕃-𝔹(ℂ)-målelig.

Alle Borelfunktioner f: ℝ → ℝ og f: ℝ → ℂ er således Lebesguemålelige (da 𝔹(ℝ) ⊆ 𝕃). Endvidere, hvis f, g: ℝ → ℝ, hvis f er Lebesguemålelig, og hvis f = g m-n.o., så er g Lebesguemålelig ifølge Sætning 16.

Lad [a, b] være et kompakt delinterval af ℝ, og sæt

𝕃([a, b]) = {E ∩ [a, b] | E ∈ 𝕃} (= 𝕃_{[a,b]}).

Det kan (ret nemt) vises, at ([a, b], 𝕃([a, b]), m) er et fuldstændigt målrum, og at 𝔹([a, b]) ⊆ 𝕃([a, b]). I Opgave 3 nedenfor vises det, at L([a, b], 𝕃([a, b]), m) indeholder alle Riemannintegrable funktioner f: [a, b] → ℝ, og at Lebesgueintegralet stemmer overens med Riemannintegralet, når Riemannintegralet er defineret.

Der findes eksempler på Riemannintegrable funktioner, som ikke er Borelmålelige (se Opgave 4).

3 Opgaver

Opgave 1 Bevis Lemma 4.

Opgave 2 Lad X være en ikke-tom mængde, og definer μ^{∗}: P (X) → ℝ^{+} ved μ^{∗}(∅) = 0 og μ^{∗}(E) = 1 for alle E ∈ P (X)\{∅}. Vis at μ^{∗} er et ydre mål, og bestem alle μ^{∗}-målelige delmængder af X.

Opgave 3 Lad f: [a, b] → ℝ være en Riemannintegrabel funktion, hvor Riemannintegralet er defineret på sædvanlig vis ved hjælp af over- og undersummer.

(i) Vis at der findes følger af funktioner

s_{1} ≤ s_{2} ≤ s_{3} ≤ ⋯ ≤ f ≤ ⋯ ≤ t_{3} ≤ t_{2} ≤ t_{1},

hvor funktionerne s_{j} og t_{j} er på formen ∑_{i=1}^{n} α_{i}1_{[x_{i−1},x_{i})}, for passende inddelinger, a = x_{0} < x_{1} < x_{2} < ⋯ < x_{n−1} < x_{n} = b af intervallet [a, b], og for passende reelle tal α_{1}, α_{2}, …, α_{n}, således at

sup_{n} ∫_{[a,b]} s_{n}dm = ∫_{a}^{b} f(x)dx = inf_{n} ∫_{[a,b]} t_{n}dm.

(ii) Vis at der findes g_{1}, g_{2} ∈ L([a, b], 𝔹([a, b]), m), så g_{1} ≤ f ≤ g_{2} og

∫_{[a,b]} g_{1}dm = ∫_{a}^{b} f(x)dx = ∫_{[a,b]} g_{2}dm.

(iii) Vis at g_{1} = f = g_{2} m-n.o.

(iv) Vis at f ∈ L([a, b], 𝕃([a, b]), m), og at

∫_{[a,b]} fdm = ∫_{a}^{b} f(x)dx.

Opgave 4 Lad Z være Cantormængden (jvf. Eksempel 5.22 i noterne). Det erindres herfra, at Z er en kompakt delmængde af intervallet [0, 1], at Z er overtællelig, og at m(Z) = 0.

(i) Vis at 1_{A}: [0, 1] → ℝ er Riemannintegrabel, og at ∫_{0}^{1} 1_{A}(x)dx = 0 for enhver delmængde A af Cantormængden Z.

(ii) Find et eksempel på en Riemannintegrabel funktion f: [0, 1] → ℝ, som ikke er en Borelfunktion. [Vink: Mængden af Borel-delmængder af ℝ er tællelig]

Opgave 5 Lad (X, 𝔽, λ) være et målrum. I analogi med definitionen af m^{∗} (i Definition 7) defineres μ^{∗}: P (X) → [0, ∞] ved

μ^{∗}(A) = inf {∑_{j=1}^{∞} λ(F_{j}) | F_{j} ∈ 𝔽, A ⊆ ⋃_{j=1}^{∞} F_{j}} .

Formålet med denne opgave er at undersøge hvad denne definition fører til, og at sætte undersøgelsen af m^{∗} i relief. Som et biprodukt får vi en fuldstændiggørelse af λ, men dette kan opnås betydeligt enklere ved at følge Opgave 3.17.

(i) Vis at

μ^{∗}(A) = inf{λ(F) | F ∈ 𝔽, A ⊆ F },

for alle A ∈ P (X), og vis, at der til ethvert A ∈ P (X) findes F ∈ 𝔽 således, at A ⊆ F og μ^{∗}(A) = λ(F).

(ii) Vis at μ^{∗} er et ydre mål.

Benævn med 𝔼 mængden af μ^{∗}-målelige delmængder af X, og lad μ betegne restriktionen af μ^{∗} til 𝔼.

(iii) Gør rede for, at (X, 𝔼, μ) er et fuldstændigt målrum.

(iv) Vis at 𝔽 ⊆ 𝔼, dvs. at alle mængder F i 𝔽 er μ^{∗}-målelige.

(v) Vis at μ(E) = λ(E) for alle E ∈ 𝔼.

(vi) Gør rede for, at (X, 𝔼, μ) er en fuldstændiggørelse af (X, 𝔽, λ).

(vii) Beskriv (X, 𝔼, μ) i tilfældet, hvor 𝔽 = {∅, X} og hvor λ(X) = 1.

(viii) Antag at λ er σ-endelig. Vis at E ∈ 𝔼 hvis og kun hvis der findes F ∈ 𝔽 således at den symmetriske difference (E \ F) ∪ (F \ E) er en λ-nulmængde.

(ix) Beskriv (X, 𝔼, μ) i tilfældet, hvor λ(F) = ∞ for alle ikke-tomme F ∈ 𝔽. Vis at resultatet fra spørgsmål (viii) ikke holder generelt uden antagelsen om, at λ er σendelig.