Matematik 3GT – efterår 2003

Esben Bistrup Halvorsen

Opgave 17.19

Lad A være en delmængde af et topologisk rum X. Med Bd A betegnes randen af A, som i opgaven defineres som delmængden Bd A = \overline{A} ∩ \overline{X − A}. Man ser let, at \overline{X − A} = X − Int A (thi Int A er den største åbne mængde indeholdt i A, hvormed X − Int A må være mindste afsluttede mængde indeholdende X − A), således at vi har

Bd A = \overline{A} ∩ (X − Int A) = \overline{A} − Int A.

Opgaven løses ved gentagen udnyttelse af ovenstående ligning.

(a) Med ovenstående beskrivelse af Bd A er det klart, at Int A er disjunkt med Bd A. Endvidere følger det af inklusionen Int A ⊆ \overline{A}, at \overline{A} = Int A ∪ Bd A.

(b) Der gælder, at

A er åben og afsluttet ⟺ A = Int A = \overline{A}
⟺ \overline{A} ⊆ Int A
⟺ Bd A = ∅.

(c) Der gælder, at

U er åben ⟺ Int U = U ⟺ Bd U = \overline{U} − U,

hvor den sidste (venstregående) implikation følger af at U og Int U begge er delmængder af \overline{U}.

(d) Hvis U er åben gælder U = Int U ⊆ Int \overline{U}, men den omvendte inklusion gælder ikke nødvendigvis. Sætter vi f.eks. U = ℝ\\{0\} fås Int \overline{U} = ℝ.