|
Funktioner af 2 variable og matrixregning Sidst ændret: 30-12-2005 15:01 af Peter Harremoës |
|
Velkommen til kurset ”Funktioner af 2 variable og matrixregning”, E2005. Kursusansvarlig og forelæser er Peter Harremoës,
Københavns Universitet, Matematisk Afdeling (med kontor i H. C. Ørsted
Instituttet, lokale E216, tlf. 35 32 07 56) Formålet med faget er at give de studerende de basale færdigheder, der
gør det muligt at løse lineære ligningssystemer og udføre
funktionsundersøgelser af funktioner af 2 variable. Det tilstræbes at de
studerende opnår teoretisk indsigt i de fundamentale begreber og færdighed i
at gennemføre de nødvendige udregninger. Præcisering af kontinuitet og differentiabilitet af funktioner af en og
to variable. Partielle afledede og kædereglen. Bestemmelse af grænseværdier.
Lineære og kvadratiske approksimationer af differentiable funktioner,
stationære punkter og tangentplan. Implicit differentiation. Bestemmelse af
maksimum og minimum samt Lagranges metode. Regning med matricer og løsning af lineære ligningssystemer ved
matrixreduktion. Determinanter af dimension højst tre.
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Uge |
Forelæsninger |
Øvelser |
Skriftligt til aflevering |
|
36 |
6/9: [MA1] Kap. 11, afsnit 1-3 om funktioner af to variable: Definitionsmængde,
graf, niveaukurver, kontinuitet. 8/9: [MA1] Kap 11, afsnit 4-6 til formulering af Youngs sætning. 9/9: Udvalgte dele af [MA1], fra afsnit 2.7, 2.8, 6.5, 6.6, 6.9. |
Afsnit 11.1 opg. 4 - 6. Afsnit 11.3, opg. 3 - 6. |
|
|
37 |
12/9: [MA1] Udvalgte dele af 9.1-9.5. Afsnit 6.8. Afsnit
11.8. 14/9: [MA1 Kap.11 fra Youngs sætning til og med 11.11. Younds sætning
blev bevist ved hjælp af middelværdisætningen. Beviset for kæderegelen blev
antydet ligesom i bogen. Studerende, der er interesserede i et stringent
bevis for kæderegelen, kan læse dette i Gert Kjærdgaards noter.
Elasticitetsbegrebet for funktioner af en variabel (Kap. 5.11) blev
gennemgået. |
Genopfriskning af vigtigt gymnasiestof. Læs tekst: [MA1] afsnit
1.4, 1.5, 3.8-10, 5.6-8 og 10-11, 10.6-7. Der regnes følgende opgaver: 11.1, opg. 4-6. 11.3 opg. 3-6, 6.5.1,
6.5.3, 6.6.1, 6.9.3. Regn følgende opgaver som er repetition af
gymnasiestof: 3.8.4, 3.9.11, 5.8.3 a), 5.10.4 c), 5.11.3 a,d,f) |
3.10.10 og 5.8.12. |
|
38 |
Introarrangement. |
||
|
39 |
26/9: [MA1] Kap 11.12, Kap. 12, 1-2, Kap. 7.1-2. Vi definerede homogene
funktioner og nogen af deres egenskaber. Begrebet implicit given funktion blev
gennemgået i teori og med en række eksempler primært fra Kap. 12. Det som
står i Kap. 7.1-2 er mere elementært og en del af det er kendt fra
gymnasiet. 28/9: 7.3-4 bortset fra differentialer. Vi gennemgik lineær
approksimation i 2 variable svarende til Kap 12.3. Starten af 13.1 blev
gennemgået så vi nu ved at ekstremum for en funktion af 2 variable skal
søges blandt de stationære punkter. |
Der regnes opgaver: 5.12.4, 11.7.1-2, 11.7.6, 11.8.3, 11.9.1, 11.9.5,
11.10.1, 11.10.3., 11.12.1,3 og 6, 7.1.3, 7.1.10, 12.2.2. |
11.5.3 og 11.7.4. |
|
40 |
3/10: [MA1] Kap 13.2 og 13.4 5/10: [MA1] Resten af 13.4. Vi brugte det meste af tiden på at gennemgå
en række eksempler. |
7.3.2, 7.4.6, 12.3.3-4 og 6-7, 13.1.2,4 og 7 til øvelserne tirsdag 13.1.6, 13.2.1, 13.2.2, 4, 5, og 6, 13.4 .1, 2 (c,d), 5 og 7 til
øvelserne torsdag/fredag |
11.9.6 og 12.2.9 |
|
41 |
10/10: [MA1] Kap. 14.1. Vi så hvordan man kan bestemme maksimum/minimum
under bibetingelse ved at benytte at vi kan differentiere implicit givne
funktioner. 12/10: [MA1] Kap. 14.2-3 Lagranges metode til bestemmelse af ekstremum
under bibetingelse blev introduceret. Vi så hvordan
Lagrange-multiplikatoren |
13.3.3, 13.4.2(a,b), 3,4 og 6, 13.5.6 til øvelserne tirsdag. Hvis der
er tid 13.4.7. 14.1.2 og 3, 14.2.1,2,4 og 6 til øvelserne torsdag. |
Obligatorisk opgave . Udleveres på
sekretariatet fra mandag 10/10 kl. 9.00. Afleveres senest 17/10 kl. 12.00. |
|
42 |
Efterårsferie. |
||
|
43 |
24/10: [MA1] Kap 14.4-5. Vi gennemgik eksempler på brug af Lagrages metode
for optimeringsproblemer af mere end 2 variable. Den væsentligste forskel
fra tidligere er at vi skal løse ligningssystemer med flere ligninger og
flere ubekendte. Vi gik i gang med trigonometriske funktioner, og sluttede
med radianer. 26/10: [MA1] Appendiks B. |
14.2.1, 14.2.2, 14.2.4 og 14.2.6 til tirsdag. 14.3.2-4 samt 14.2.7 hvis der er tid til torsdag. |
14.2.5 og 14.3.1. |
|
44 |
31/10 [LA] 1.1-2 Vi gennemgik vektorregning generaliseret til n
dimensioner. For n=2 så vi at en vektor dels kan opfattes som et
punkt i planen, dels som en vektor i planen, dels som et sæt bestående af n
tal. For n større end 3 er det svært at give en geometrisk
fortolkning så i det tilfælde er det bedst at opfatte en vektor som et sæt tal. 2/11: [LA] 1.3 Vi definerede lineære afbildning ved hjælp af
matricer og den regneforskrift de giver anledning til. Vi så derefter at
lineære afbildninger kan identificeres med afbildninger der opfylder visse
betingelser. |
14.4.1 og 4, 14.5.2 og 4 samt B.1.4 til tirsdag B.1.7, B.1.12, B.2.4, B.2.5, B.2.9 og B.3.2 til torsdag |
14.4.3 og B.2.6 |
|
45 |
7/11: [LA] 1.4 Vi så at addition af lineære afbildninger svarer til
addition af matricer og at en lineær afbildning multipliceret med en skalar
svarer til multiplikation af den tilsvarende matrix med skalaren. Vi gik i
gang med matrixmultiplikation. ;ange af reglerne for matrixmultiplikation
blev gennemgået, men vi blev ikke færdige med beviset for at
matrixmultiplikation er associativ (regel M 12). 9/11: Resten af [LA] 1.4 samt 1.5. |
Til tirsdag: øvelser: 1, 2, 3, 4 og hjemmeopgaver: 1, 2 Til torsdag/fredag: øvelse 11, 12 og 13, hjemmeopgave 5 og 6 |
Obligatorisk opgave. Udleveres på sekretariatet fra
mandag 7/11 kl. 9.00. Afleveres senest 14/10 kl. 12.00. |
|
46 |
14/11: [LA] 1.5-1.6 Vi afsluttede afsnittet om inverse matricer.
Transponering af matricer blev motiveret ved eksempler. 16/11: [LA] 2.1-2.3 Vi gennemgik rækkeoperationer som en metode til at
løse lineære ligningssystemer. Det blev nævnt at subsitution af variable
kan betragtes som en slags rækkeoperation i ligeære ligningssystemer. Målet
med rækkeoperationerne er at skaffe mange 0’er i totalmatricen. Trappematricer er endnu ikke blevet
formelt indtroduceret. Vi så eksempler på at ligningssystemer kan have 0
løsninger, en løsning eller mange løsninger. |
Til tirsdag: øvelser 5, 6, 7, 8, 9. Til torsdag/fredag: øvelser 16, 17, 18, 19. |
[LA] Hjemmeopgaver 3 og 9. |
|
47 |
21/11 [LA] 2.2-3. Trappematircer instruduceres og vi ser at enhver
totalmatrix kan reduceres til en trappematrix ved hjælpt af
rækkeoperationer. 23/11 [LA] 2.4 og dele af 2.6. Vi så hvad rangen af en matrix betød for
antallet af løsninger til et lineært ligningssystem. Vi så hvordan man med
matricer kan løse flere ligningssystemer på en gang. Dette blev brugt at at
invertere matricer. Operationsmatricer kom vi ikke ind på. Dagen sluttede med evaluering. |
Til tirsdag: øvelse 10, 14, 15, 20 og 21. Til torsdag/fredag: øvelse 23, 24, 25, 27 og 28. |
Hjemmeopgaver 8 og 11. |
|
48 |
28/11: [LA] Vi så hvordan rækkeoperationer kan opfattes som
multiplikation med operationsmatricer. Herefter så vi formlerne til
udregning af determinanter [LA] 3.1-2. Vi så nogle anvendelser af
determinanter samt nogle regneregler der er nyttige at kende ved beregning
af determinanter. 30/11 Matrixregning på TI-83. Vi gennemgik indtastning af matricer,
regning med matricer, determinant samt trappematricer (echelon-matricer). I
visse tilfælde gav lommeregneren et misvisende resultat ved udregning af
trappematrix med ref(… Forklaringen er at lommeregneren var indstillet til
at angive 0 decimaler. Det rigtige resultat fås ved at skrive
hvorved resultatet omregnes til brøker. Vi afsluttede med geometriske rækker [MA1] afsnit 8.4. |
Til tirsdag: øvelse 23, 30, 31, 32, 35 Til torsdag/fredag: øvelse 38, 42 45 49, 51 |
Hjemmeopgave 10 og 13 |
|
49 |
5/12 formiddag: [MA1] afsnit 8.5. Repetition af Lagrage multiplikator 5/12 eftermiddag: Multiple choice sæt 1 7/12 formiddag: Resten af sæt 1, 7/12 eftermiddag: Multiple choice sæt 3 |
Til tirsdag: [LA] 55,67, 76, 86, [MA1] 8.4.1 Til torsdag/fredag: [LA1] 63, 64, 83 [MA1] 8.5.2 og 8.5.3 Til forelæsningerne Multiple choice sæt 1 og sæt 3. |
Hjemmeopgave 16 [MA1] 8.4.1 |
|
50 |
12/12 Eksamen i andet fag. 14/12 Formiddag: Repetition af kædereglen og lidt mere om stationære
punkter og deres type. 14/12 Eftermiddag: Multiple choice sæt 2 |
[LA] 26 og 47 [MA1] 11.7.9, 11.10.2 og 14.2.5 [LA] 63 og 85 [MA1] 6.5.4, 11.9.3. og 14.1.1 Til forelæsningerne onsdag: Multiple choice sæt 2 |
16/12 Skriftlig eksamen kl. 9.00-11.00. |
|
27/6 2006 |
|
|
Omeksamen/ sygeeksamen |
Prøven har form af 2 obligatoriske
opgaver, som afleveres mandag i henholdsvis uge 42 og 46, samt en multiple
choice eksamen 16/12 kl. 9.00-11.00, som vurderes efter bestået/ikke-bestået.
Man kan kun gå til eksamen dersom mindst en af de obligatoriske opgaver er
bestået. Alle skriftlige hjælpemidler samt lommeregner må benyttes. Ved
prøven skal den studerende vise:
·
Overblik
og evne til selvstændigt at kombinere forskellige delområder af matematik,
·
Teoretisk
indsigt såvel som operationel færdighed i matematiske teknikker til løsning
af forskellige opgaver,
·
Kendskab
til anvendte matematiske teoriers gyldighedsområde.
I bedømmelsen indgår endvidere den
studerendes evne til at give en klar fremstilling i gængs matematisk
sprogbrug ved opgaveløsning – det være sig såvel i det logisk-deduktive
forløb som i redegørelsen for den benyttede teori. Bedømmelsen foretages alene af en lærer.
Der afholdes syge-/omeksamen i 27 juli
2006. Den studerende er automatisk tilmeldt omeksamen, hvis eksamen ikke
bestås. Seneste frist for framelding af omeksamen vil blive annonceret
senere.
Nedenfor findes en række træningssæt
samt eksamensopgave i multiple choice-stil.
Sæt 1, Sæt 2, Sæt 3, Sæt
4, sæt 5, Eksamen 16/12
2005, facitliste
|
|