Anmeldelse af:
Victor J. Katz: A History of Mathematics: An Introduction.
HarperCollins College Publishers, New York 1993.
786 pp. ISBN 0-673-38039-4.
Af Kurt
Ramskov, Matematisk Afdeling, Københavns Universitet
28. januar 1997; revideret 14. januar
1998
Som titlen viser er denne bog en introduktion til matematikkens historie.
Tidsmæssigt spænder den fra de ældste tider til anden halvdel af det 20.
århundrede.
Ifølge forordet er bogen tænkt som en lærebog til "college teachers" eller folk der er under uddannelse hertil, dvs. hvad der i Danmark svarer til gymnasielærere. Katz vurderer bogens omfang som svarende til et helårskursus.
Bogen består af 18 kapitler (plus et 'mellemkapitel'), som er inddelt i fire dele. Den første del på fem kapitler dækker stort set kronologisk tiden indtil det 6. århundrede e.Kr. med ét kapitel om egyptisk, babylonsk og kinesisk matematik og fire kapitler om græsk matematik. Den anden del dækker middelalderen (dvs. perioden 500-1400) og her er kapitlerne opdelt efter kulturer: ét om indisk og kinesisk, ét om islamisk og ét om europæisk matematik, samt endelig et "Interchapter" om etnomatematik, som egentlig ikke hører specielt til denne periode. Tredje del med titlen "tidlig moderne matematik" dækker kronologisk perioden 1400-1700 i fire kapitler. Endelig dækker fjerde del 1700-2000 i seks kapitler med to om det 18. århundrede, tre om det 19. og ét om det 20. århundrede.
Mens bogens overordnede opbygning er kronologisk, er de enkelte kapitler emnemæssigt opdelt i afsnit. Dette gør det muligt også at udvælge et mere begrænset emne som fx ligningsteori og læse dette emnes historie gennem en række udvalgte afsnit (eksempler på sådanne forløb er givet i forordet, side xiii).
Strukturen er nogenlunde den samme for alle kapitler. Der indledes med en kortfattet oversigt over de emner, der skal behandles i kapitlet, og der afsluttes med en stribe opgaver, oplysninger om supplerende litteratur, samt noter. Udvalgte informationer er i de enkelte kapitler anbragt i boxe udenfor den løbende tekst. Det gælder dels korte biografier af de betydeligste matematikere og dels oversigter (kaldet "Side Bars") over væsentlige ting som fx Side Bar 2.1 med definitionerne i Euklids Bog I eller Side Bar 8.2 om middelalderens universiteter.
Udover figurerne med geometriske skitser er hovedparten af illustrationerne gengivelse af frimærker med matematikere eller matematik.
Med hensyn til opbygningen har jeg ikke mange bemærkninger. Den virker gennemtænkt og gennemført. Der er vel egentlig ikke noget godt alternativ til en kronologisk opbygning i et oversigtsværk. Muligheden for at begrænse læsningen til et emnes historie ved at udvælge afsnit virker nyttigt i en lærebog. Hvorvidt man får en sammenhængende historie frem på denne måde, har jeg dog ikke undersøgt. Ideen med at placere små biografier og vigtige oversigter i boxe synes jeg virker godt.
Opgaverne synes jeg virker lidt for meget som matematikopgaver, og jeg ville have foretrukket færre opgaver med mere inddragelse af kildemateriale.
Omfanget af noter er altid et problematisk emne. De fleste af Katz' noter er til citater og henviser så til kilden, hvilket jeg synes virker som en god løsning i en lærebog.
Den kommenterende, korte opremsning af supplerende litteratur efter hvert kapitel virker også som et godt element i en lærebog. Jeg synes generelt udvalget virker særdeles kvalificeret og der er medtaget mange nyere arbejder. Det er ikke kun begrænset til engelsksproget litteratur, selv om hovedparten ikke uventet er dette.
Valget af frimærker som den dominerende illustrationsform forekommer mig noget ensformig, selv om det selvfølgelig er prisværdigt, at forfatteren har tænkt på, at der skal være mange illustrationer. Det burde også klarere fremgå, at hovedparten af portrætterne fra før 1500 er ren fantasi.
Katz fremhæver selv i forordet, at han har fokuseret på originale kilder, at han har anstrengt sig specielt for ikke give en vestcentreret fremstilling ved at medtage væsentligt materiale om Kina, Indien og andre områder udenfor Europa, og at han har to kapitler om "matematiske metoder", dvs. matematikkens anvendelse i astronomi (i hellinistisk tid og i renæssancen).
Med hensyn til udvalget af stof er der generelt mest positivt at sige om bogens første tre dele, mens jeg har nogle kritikpunkter til den fjerde del om perioden efter 1700. På trods af at den altovervejende del af matematikken er fra efter 1700, er denne periode nedprioriteret på bekostning af tiden før. Det stemmer sådant set godt nok overens med, at bogen er en lærebog for collegelærere (se nedenfor), men jeg mener, at Katz burde have gjort tydeligere opmærksom på, at behandlingen efter 1700 kun dækker udvalgte emner. For det 20. århundrede er det gjort klart i indledningen til kapitel 18, men for det 18. og 19. kan man let få det indtryk, at de skulle være dækkende behandlet, hvilket er uheldig når et så centralt emne som elliptiske funktioner er udeladt og differentialligninger med deres anvendelser i fysik m.m. næsten ikke er omtalt. Heller ikke de komplekse tals betydning i analysen i 1700-tallet fremtræder særlig klart.
Som det var hans intention, er det tydeligt, at Katz har opprioriteret omtalen af ikke-europæisk matematik, hvilket specielt ses når man sammenligner hans bog med andre oversigtsværker som [Kline 1972] og [Boyer 1989], hvor behandlingen af dette kun udgør halvdelen af Katz' set i forhold til værkernes størrelse.
Jeg synes generelt, at Katz har fået realiseret sine intentioner på udmærket vis. Etnomatematikken og de ret udførlige afsnit om indisk, kinesisk og islamisk matematik virker vedkommende og relevante. I afsnit 14.5 synes jeg dog, at intentionen går for vidt, idet han bruger 2-3 sider på at fortælle, at der ingenting skete indenfor matematik på det amerikanske kontinent i 1700-tallet.
Kvinderne har også fået en synlig plads, selv om de næsten ingen betydning har haft før 1900. Generelt er ideen udmærket, men enkelte steder føler jeg, at Katz er gået lidt for vidt, måske i en intention om at imødegå feministisk kritik. Han bruger fx side 657 på en biografi om Sofia Kovalevskaya, selv om hendes eneste forbindelse til fremstillingen iøvrigt var hendes forhold til Weierstrass. Boxen om hende fylder desuden dobbelt så meget som Weierstrass' på den foregående side.
Katz' har ladet sin fremstilling være præget af resultater fra den nyere forskning, hvilket er meget positivt. Dette ses tydeligst i omtalen af babylonsk matematik, hvor nye fortolkninger er medtaget, og i behandlingen af den islamiske matematik, hvor billedet er ændret de sidste 20-30 år. Også den nævnte vægtning af ikke-europæisk matematik, specielt etnomatematik, er en afspejling af nyere tendenser i forskningen. Den eneste markante undtagelse herfra forekommer mig at være afsnit 18.4 om computeren. Her er det øjensynligt forbigået forfatteren, at der gennem de sidste 15 år er sket en omfattende forskning indenfor computerens historie, hvilket også ses af det angivne supplerende litteratur. Næsten alle teknologiske aspekter er udeladt og kun von Neumann fremhæves i forbindelse med bygningen af den første computer, noget som den nævnte forskning har vist langt fra er et korrekt billede.
Katz' metode er overvejende internalistisk bogen igennem, men i de første tre dele er der dog mange afsnit af kontekstuel tilsnit, hvor anvendelser af matematikken, de institutionelle forhold osv. omtales. Dette sker næsten ikke i den fjerde del. Jeg savner fx en omtale af fagets professionalisering og institutionalisering i 1800-tallet markeret ved fremkomsten af rene fagtidsskrifter, oprettelsen af matematiske selskaber og foreninger osv. Heller ikke akademiernes betydning i 1700-tallet er omtalt. Matematikkens anvendelse har også fået en meget lille plads i fjerde del. Ikke bare er mange emner fra "applied mathematics" udeladt, men naboområderne (som fysik og astronomi) og deres vekselvirkning med matematikken er næsten ikke omtalt.
Generelt virker det konkrete indhold pålidelig både hvad angår det matematiske og det historiske. Anmelderen har fundet meget få deciderede fejl. Figur 7.4 side 231, der skal illustrere al-Khwarizmis geometriske bevis for løsningen af andengradsligningen, er ikke i overensstemmelse med fremstillingen i [Struik, pp. 59-60], så enten der en fejl eller der gives kun en del af billedet.
Størstedelen af stoffet er klart fremstillet, men der er dog enkelte mindre gode afsnit. Fx har jeg set fremstillingen af diskussionen af den svingende streng (afsnit 13.4) og Eulers formler (afsnit 13.1.3) bedre og klarere fremstillet andre steder. Derimod er der også fantastisk gode afsnit som 17.2.3, hvor det lykkedes at give en god fremstilling af et vanskeligt emne.
Det kompetente indtryk skyldes antageligt både, at Katz selv har forsket i matematikkens historie og skrevet flere artikler herom, ligesom han har trukket på flere førende eksperter, som man kan se i forordets "acknowledgments".
Katz' fokusering på primærkilder giver en friskhed og nærhed i fremstillingen, og er efter min mening nødvendig i en lærebog for at kunne give et ordentligt indtryk af matematikkens historie. Katz er heller ikke bange for at gå ind i tekniske og matematiske detaljer, men jeg synes altid der er et klart formål hermed, og at han alt i alt rammer en god balance mellem det matematiske og det mere beskrivende, når målet er en lærebog for den omtalte målgruppe.
Som nævnt var bogen skrevet som en lærebog til collegelærere, der må forventes som forudsætning at have et par universitetskurser i matematik. Dette er også nødvendigt for at kunne læse hele bogen og der vil nok selv med denne baggrund være enkelte dele i omtalen af det 19. og 20. århundrede som vil være vanskeligt tilgængelige alligevel. Dele af bogen vil dog kunne læses med mindre baggrund, specielt de første kapitler.
Alt i alt er bogens første tre fjerdedele særdeles vellykkede og bogen som helhed kan varmt anbefales som lærebog i oversigtskurser over matematikkens historie (specielt hvis de dækker perioden indtil 1700) for folk med den nødvendige matematiske baggrund, dvs. et par matematiske kurser på universitetsniveau. Også andre interesserede med den nødvendige baggrund vil kunne have stor udbytte af bogen.
Med hensyn til anvendelse i gymnasiet vil dele af bogens første halvdel kunne indgå som litteratur til 3. års opgaver om emner indenfor matematikkens historie, især hvis der er tale om dygtige elever.
Derimod kan bogen ikke anbefales til folk uden matematisk baggrund.
En alternativ anmeldelse af Katz' bog kan findes i tidsskriftet Historia Mathematica 23 (1996), pp. 89-92.