Matematik 3RE



Forelæsninger starter den torsdag den 5 september ved (JBO).
Øvelserne starter først i ugen efter.
En kopi af den første del af  noterne ligger fra på fredag (30/8)  på Matematisk Afdelings kontor og kan lånes til kopiering.
Opgaver til uge 37
Ugeseddel 1
Opgaver til uge 37  (9 september):
(side 25):1,2,3 og 12. Gør endvidere rede for at der ved at man får en repræsentation af den cykliske gruppe af orden 3 ved til en frembringer for gruppen at lade svare drejning af planen på 120°.
Gør rede for at repræsentationen er en direkte sum af 2  1-dimensionale (over C).

Ugeseddel 2
Ved forelæsningerne den 5 og 12 september er der gennemgået de første 12 sider af noterne. I stykket om de klassiske grupper skal man bare kende definitionerne  af de ortogonale, unitære og symplektiske grupper.
Jeg gennemgår den specielle unitære gruppe ved forelæsningerne den 19 september.
Der skulle være en uofficiel netversion af noterne på
www.serveren.dk/mat3re/


Opgaver til uge 38 (16 september):
Vis påstanden i sætning 3 på side 6. Find i eksempel 4 på side 4 et invariant underrum så repræsentationens restriktion hertil er irreducibel.
Betragt den cykliske gruppe af orden 2  C2   med frembringer  c. Betragt et 2 dimensionalt vektorrum V med basis  u og v. Lad den lineære afbildning f være givet ved
f(u) = -u og f(v) = v og den lineære afbildning  g ved g(u) = v  og g(v) = u. Find matrixfremstillingerne af f og g.  
Vis at der ved at føre c over  i  f  og i  g defineres  to repræsentationer af gruppen: Undersøg om repræsentationerne er ækvivalente.
Øvelse 5,6 og 7 på side 25.
Den symplektiske gruppe er defineret på side 12. Find gruppen for n=1.  Vis at gruppen opererer transitivt på  R2 \{0}.
Find dernæst i det generelle tilfælde (for alle n)  nødvendige og tilstrækkelige betingelser for at en matrix er symplektisk og find forskellige typer af symplektiske matricer.
Gør endelig rede for at den symplektiske gruppe opererer transitivt på R2n \{0}.

Ugeseddel 3.
Ved forelæsningerne den 19 og 26 september gennemgår jeg resten af Kapitel 1 og regner med at starte på gennemgangen af det vigtige Kapitel 2.
Jeg har lagt nogle opgaver på hylden over for MA's bibliotek, tag selv.
Opgaver til den 23 og 30.
De nye opgaver: 13, 34, 35, 36, 37, 38, 39 og 40 og 5.
Lad a,b være 2 elementer i SU(2). Opfat a og b som elementer i R 4 udregn deres produkt fra SU(2) som element heri.
Opgaverne 8,9 og 10 på side 25.

Ugeseddel 4.
Ved forelæsningerne den 3 og 10 oktober gennemgår jeg fra kapitel 2 og regner med at begynde gennemgangen af beviset for Hovedsætning 1.
(Kapitel 2 er det vigtigste i kurset).
Opgaver til den 7 og 21 oktober:
Opgave 11 og 13 på side 26 og 26a). De nye opgaver: 14,15,16,17,18, 21,25,26,27,28,29  og 30.
Bemærkninger:(Tak Kasper).  Opg. 15, jeg kender ingen nem måde at regne opgaven på uden Maschkes sætning. Opgave 25 : En karakter er karakteren for en repræsentation. Opgave 26 H er et vektorrum over C med multiplikation af elementer fra C fra højre.. Opgave 27 nederste linie 1 dimensional erstattes af irreducibel.

Ugeseddel 5.

Ved forelæsningerne den 24 og 31 oktober gennemgår jeg beviserne for Hovedsætning 1 og 2, regner et eksempel som udleveres ved forelæsninger. Dernæst genemgår jeg noterne om den fri gruppe. Disse + de næste noter kommer i næste uge.
Opgaver til den 28 oktober og den 4 november:  De opgaver som mangler fra tidligere øvelsesgange. 
Nye opgaver: 10, 11(G er endelig, udnyt evt. struktursætning for endelige abelske grupper), 12 , 22 , 24 og 41. 7 og 8
Den 4 november afsættes tid til konsultation i forbindelse med besvarelsen af den obligatoriske opgave (opgaven udleveres sidst i denne uge og skal afleveres senest den 11 november.

Jeg kan træffes(E204) i forbindelse med den obligatoriske opgave tirsdag d5/11 mellem 13 og 14 og onsdag mellem 11 og 12, og mellem 13 og 14.

Trykfejl: Noterne om den fri gruppe: Øverst side 4 linie 4: Der burde stå hvis xx-1 ikke er forkortet væk må den første reduktion som involverer  xx-1 være en forkortning af formen (se noterne linie 6 side 4).
Side 5 under diedergruppen:  formlen skal være rs = sr-1.

Ugeseddel 6.

Ved forelæsningerne den 7 november gennemgik jeg det sidste om repræsentationer af endelige grupper. Endvidere startede jeg på stykket om unitære repræsentationer. Den 14 og 21 november gennemgår jeg lidt om unitære matricer og afslutter gennemgangen af kapitlet om unitære repræsentationer. Dernæst starter jeg på kapitlet om repræsentationer af topologiske grupper.

Opgaver:  Den 11 november regner man de opgaver der mangler fra tidligere. Opgaver til den 18 og 25 november: Nye opgaver 9, 43 (opgave 15 erstattes med opgave 33), ,45,46, 47 (den sidste karakter skal have værdierne 2 2 -1 -1 0) og opgave 23 (et lille trick er vist nødvendigt G er forudsat endelig)  vinteren 2002 opgave 1. Nye opgaver 1-5. 

Ugeseddel 7.

Ved forelæsningerne den 14 og 21 november er resten af notepakke 2 gennemgået. Vi er endvidere startet på gennemgangen af notepakke 3. Ligger på MA's kontor og på nettet (se nedenfor)

Opgaver til den  2 december: sommer 2001, opgave 6, 36a, opgaver om topologiske grupper 1-6
De sidste noter er kommet, de ligger på MA's kontor E 103 eller er på nettet  Noter . eller som pdf fil  noter'


Ugeseddel 8.

Ved forelæsningerne den 12 december gennemgår jeg om repræsentationer af SU(2) og starter på sammenhæng. Den 19 december afslutter jeg gennemgangen af den sidste notepakke (der vil blive regnet et par spørgsmål fra tidligere eksamenssæt undervejs) og jeg  giver, hvis tiden tillader, en anvendelse af repræsentationsteori på endelige grupper.

Øvelser til den 16 december:  Opgave 1 v97/98 (findes på nettet) på side 13 i den sidste notepakke 7,8,9 og 11.
Trykfejl: I formlen (*) på side 19 skal det sidste xn være x0  den samme rettelse længere nede i udtrykket for f(u,v).
I beviset for sætning 21 side 27 linie 10 skal x tilhøre M's afslutning og ikke blot M linie 12 på samme side er M's afslutning indeholdt i MV = M.
SU(n) betegnes oftest i litteraturen  SUn
Ved forelæsningerne den 19 december gennemgik jeg det sidste af noterne om topologiske grupper dog blev beviset for Lie's sætning sprunget over
I beviset for at ind(S) er en repræsentation får man brug for at  ind(S)(hak) = ind(S)(aa-1hak), dette giver vist kun mening hvis man var til forelæsningen.
Der er kopier af et par eksamenssæt uden for mit kontor E 204, disse sæt kan lånes til kopiering.



Spørgetime fredag den 3 januar 2003 kl. 11  i Aud. 10
Obligatorisk Opgave.

G betegner en gruppe med 18 elementer.
1) Gør rede for at de irreducible repræsentationer af G kun kan have dimensioner 1,2 eller 3. Vis endvidere at G højst kan have én irreducibel 3 dimensional repræsentation.
 (5p)
2) Vis at G's kommutatorgruppe  (G') ikke kan have orden 6.                                                                                                                                                                    
  (4p)
3) Antag at G har en irreducibel 3-dimensional repræsentation. Hvilke ordner kan G' have. Udeluk så mange som muligt.                                                                              
(4p)

I det følgende antages at G er en ikke abelsk gruppe med 18 elementer, G' er en ægte undergruppe af G  og at  G har en irreducibel 2 dimensional repræsentation.

4) Vis at G har yderligere 2 irreducible 2-dimensionale repræsentationer.                                                                                                                                                      
 (4p)

Antag nu yderligere at G har netop 3 irreducible 2-dimensionale repræsentationer.

5) Vis at faktorgruppen G/G' er isomorf med C6  (den cykliske gruppe af orden 6) og at G' er isomorf med C3.                                                                                        
 (4p)
 
Lad a tilhøre G så a's repræsentant i G/G' frembringer G/G'. Lad b være valgt så b frembringer G'.

6) Angiv antallet af konjugationsklasser i G og vis at  e,a,...,a5, b er repræsentanter for forskellige konjugationsklasser.                                                                                  
  (4p)
7) Gør rede for at ab er ulig ba. Find CG(a)'s orden. Vis at de irreducible 2-dimensionale karakterer er 0 på a og a5.                                                                                  
  (10p)
8) Vis at b og b2 er konjugerede og at ab = b2a. Vis endvidere at a2 og a4 begge tilhører G's centrum.                                                                                                        
   (8p)
9) Vis at gruppen G er isomorf med   <x,y| x6= y3 = 1, xy = y2x.>                                                                                                                                                                
(10p)
10) Vis at der ved  T(b) = diag(e,e2)  og T(a)= p, (hvor p er den ikke trivielle (2x2) permutationsmatrix, 0 i diagonalen 1 ellers) induceres en irreducibel 2 dimensional repræsentation.
(e betegner en ikke triviel 3'die enhedsrod)                                                                                                                                                                                                    
(10p)                     
11) Find repræsentanter for samtlige konjugationsklasser, værdierne af de irreducible 2-dimensionale karakterer på disse klasser og værdierne af de
1-dimensionale karakterer på a og b.                                                                                                                                                                                                          
   (30p)
12) Angiv samtlige normale undergrupper i G.                                                                                                                                                                                              
   (7p)