Matematik F1

Opgavesæt til besvarelse i 4 timer. Sættet består af 4 opgaver og er på 3 sider. Alle sædvanlige hjælpemidler, d.v.s. bøger, notater og lommeregnere, kan benyttes. Det er tilladt at skrive med blyant, når blot skriften er tydeligt læsebar. De stillede opgaver vægtes tilnærmelsesvis ens.

Opgave 1

Lad den komplekse funktion f være givet ved udtrykket

f(z) = \frac{1}{z(e^{z} − 1)} .

a) Begrund, at z = 0 er en pol af orden 2 for f.

b) Bestem samtlige poler for f samt deres orden, og gør rede for, at der findes et R > 0, således at f har en Laurent række fremstilling

f(z) = \frac{a_{−2}}{z^{2}} + \frac{a_{−1}}{z} + a_{0} + a_{1}z + …

for 0 < |z| < R. Angiv den størst mulige værdi af R.

c) Gør rede for, at a_{−2} = 1 og a_{−1} = −\frac{1}{2}.

d) Bestem værdien af kurveintegralet

∮_{C} f(z)dz ,

hvor C betegner cirklen med centrum i 2 og radius 3, orienteret mod uret.

Opgave 2

Lad H være et Hilbert rum med indre produkt ⟨·, ·⟩ og tilhørende norm ∥ · ∥, og lad (e_{1}, e_{2}, e_{3}, …) være en ortonormalbasis for H.

a) Gør rede for, at rækken

∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n + a}e_{n}

er konvergent i H for ethvert reelt tal a ≥ 0. Idet summen betegnes med v_{a} skal det vises, at

∥v_{0}∥^{2} = ∥v_{1}∥^{2} + 1 .

b) Idet det oplyses, at

∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n^{2}} = \frac{π^{2}}{6}  og  ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n(n + 1)} = 1 ,

skal man gøre rede for, at

⟨v_{0}, v_{1}⟩ = 1

samt bestemme den ortogonale projektion af vektoren v_{1} på (underrummet udspændt af) vektoren v_{0}.

c) Med A betegner vi afbildningen fra H ind i H givet ved

A(v) = ⟨v_{1}, v⟩v_{0}.

Begrund, at A er en begrænset lineær operator og bestem dens norm.

d) Gør rede for, at A har netop to egenværdier og bestem disse.

Opgave 3.

Betragt følgende anden ordens lineære differentialligning

4x^{2}y′′ + 5xy′ − \frac{1}{2}(1 + x)y = 0 . (∗)

a) Gør rede for, at 0 er et singulært punkt for denne differentialligning. Opstil indeksligningen og bestem dens rødder.

b) Begrund, at (*) har to lineært uafhængige løsninger y_{1} og y_{2} af formen

y_{1}(x) = x^{\frac{1}{4}} ∑_{n=0}^{∞} a_{n}x^{n} y_{2}(x)) = x^{− \frac{1}{2}} ∑_{n=0}^{∞} b_{n}x^{n} ,

og vis, at koefficienterne a_{n} og b_{n} kan bestemmes ved at løse rekursionsligningerne

2n(4n + 3)a_{n} = a_{n−1} og 2n(4n − 3)b_{n} = b_{n−1} , n = 1, 2, 3, …

Bestem herved de tre første led i ovennævnte rækkeudviklinger for to sådanne løsninger.

Opgave 4.

Lad funktionen f : [0, π] → ℝ være givet ved

f(x) = \begin{cases}sin 2x for 0 ≤ x ≤ \frac{π}{2} \\ 0 for \frac{π}{2} < x ≤ π . \end{cases}

a) Gør rede for, at Fourier sinus rækken for f er

\frac{1}{2} sin 2x + \frac{4}{π} ∑_{{n=1 \atop n ulige}}^{∞} \frac{(−1)^{\frac{n−1}{2}}}{4 − n^{2}} sin nx .

b) Begrund, at ovennævnte række er konvergent for alle x ∈ ℝ og skitser grafen for sumfunktionen i intervallet [−2π, 2π].

c) Lad u(x, t) være løsningen (i generaliseret forstand) til følgende problem:

\begin{cases}\frac{∂^{2}u}{∂t^{2}} − 3\frac{∂^{2}u}{∂x^{2}} = 0 , & 0 < x < π , t ∈ ℝ \\ u(0, t) = u(π, t) = 0 , & t ∈ ℝ \\ u(x, 0) = sin 2x , & 0 ≤ x ≤ \frac{π}{2} \\ u(x, 0) = 0 , & \frac{π}{2} < x ≤ π \\ \frac{∂u}{∂t}(x, 0) = 0 , & 0 < x < π . \end{cases}

Angiv et udtryk for u(x, t) på rækkeform.

d) Bestem u(\frac{π}{2}, \frac{\sqrt{3}π}{4}) .