Matematik F1

Opgavesæt til besvarelse i 4 timer. Sættet består af 4 opgaver og er på 3 sider. Alle sædvanlige hjælpemidler, d.v.s. bøger, notater og lommeregnere kan benyttes. De stillede opgaver vægtes tilnærmelsesvis ens.

Opgave 1

Lad den komplekse funktion f være givet ved udtrykket

f(z) = \frac{sin πz}{z^{2}(16z^{2} − 16z + 3)} .

a) Angiv den største delmængde af ℂ, hvori f er analytisk, og begrund, at f har netop tre poler, samt at disse alle er simple, d.v.s. af orden 1.

b) Begrund, at f i en omegn af z = \frac{1}{2} har en potensrækkefremstilling

∑_{n=0}^{∞} a_{n}(z − \frac{1}{2})^{n}

og bestem rækkens konvergensradius.

c) Bestem koefficienterne a_{0} og a_{1} i ovennævnte potensrække.

Lad C betegne kurven, der afgrænser kvadratet med hjørner ±\frac{1}{2} ± \frac{i}{2}, altså kvadratet \{x + iy ∈ ℂ | −\frac{1}{2} ≤ x ≤ \frac{1}{2}, −\frac{1}{2} ≤ y ≤ \frac{1}{2}\} , gennemløbet en gang mod uret.

d) Bestem værdien af kurveintegralet

∮_{C} f(z)dz .

Opgave 2

Lad afbildningen A : ℓ_{2}(ℕ) → ℓ_{2}(ℕ) være givet ved

A(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, …) = (ix_{2}, i(x_{3} − x_{1}), i(x_{4} − x_{2}), …) ,

d.v.s. for x = (x_{1}, x_{2}, …) ∈ ℓ_{2}(ℕ) er det n’te element i følgen Ax givet ved

(Ax)_{n} = i(x_{n+1} − x_{n−1}) , n ∈ ℕ ,

hvor vi bruger konventionen x_{0} = 0. a) Gør rede for, at A er en begrænset lineær operator på ℓ_{2}(ℕ) (med det

sædvanlige indre produkt), og vis, at ∥A∥ ≤ 2.

b) Gør rede for, at følgen z = (−1, \frac{1}{2}, −\frac{1}{3}, \frac{1}{4}, …), hvis n’te element er \frac{(−1)^{n}}{n}, tilhører ℓ_{2}(ℕ) og beregn Az.

c) Bestem den ortogonale projektion af Az på (underrummet udspændt af) vektoren ε_{1} + ε_{2}, hvor ε_{i} betegner talfølgen, hvis i’te element er 1 og hvis øvrige elementer er 0.

d) Gør rede for, at operatoren A er selvadjungeret.

Opgave 3.

Betragt følgende anden ordens lineære differentialligning

16x^{2}y′′ + (3 − 8x^{2})y = 0 .

a) Gør rede for, at 0 er et singulært punkt for denne differentialligning. Opstil indeksligningen og find dens rødder.

b) Bestem to lineært uafhængige løsninger af formen

y(x) = x^{r} ∑_{n=0}^{∞} a_{n}x^{n} ,

og begrund, at de er veldefinerede for x ∈]0, +∞[.

Opgave 4.

Lad funktionen f : [0, 1] → ℝ være givet ved

f(x) = x^{2}(1 − x) for x ∈ [0, 1] .

a) Gør rede for, at Fourier sinus rækken for f er

\frac{4}{π^{3}} ∑_{n=1}^{∞} \frac{2(−1)^{n+1} − 1}{n^{3}} sin nπx .

b) Begrund, at ovennævnte række er konvergent for x = \frac{1}{2}, bestem rækkens sum i dette punkt, og brug dette til at vise, at

∑_{k=0}^{∞} \frac{(−1)^{k}}{(2k + 1)^{3}} = \frac{π^{3}}{32} .

Københavns Universitet Prøve ved Det naturvidenskabelige Fakultet sommer 2003 3

c) Lad u(x, t) være løsningen (i generaliseret forstand) til følgende problem:

\begin{cases}\frac{∂^{2}u}{∂t^{2}} − 4\frac{∂^{2}u}{∂x^{2}} = 0 , & 0 < x < 1 , t ∈ ℝ \\ u(0, t) = u(1, t) = 0 , & t ∈ ℝ \\ u(x, 0) = x^{2}(1 − x) , & 0 ≤ x ≤ 1 \\ \frac{∂u}{∂t}(x, 0) = 0 , & 0 ≤ x ≤ 1 . \end{cases}

Angiv et udtryk for u(x, t) på rækkeform.

d) Bestem u(\frac{1}{4}, \frac{5}{4}).