Københavns Universitet Prøve ved Det naturvidenskabelige Fakultet sommer 2002

Matematik F1

Opgavesæt til besvarelse i 4 timer. Sættet består af 4 opgaver. Alle sædvanlige hjælpemidler, dvs. bøger, notater og lommeregnere kan benyttes.

De stillede opgaver vægtes tilnærmelsesvis ens.

Opgave 1

Lad den komplekse funktion f være givet ved udtrykket

f(z) = \frac{2i + e^{iz}}{z^{2} + z + 1} .

a) Begrund, at f er analytisk i hele den komplekse plan pånær i to punkter a og b. Bestem a og b og begrund, at de er simple poler for f.

b) Gør rede for, at f har en potensrækkefremstilling

∑_{n=0}^{∞} a_{n}z^{n}

i en omegn af z = 0 og bestem rækkens konvergensradius.

c) Udregn integralet

∫_{−∞}^{+∞} \frac{2 + sin x}{x^{2} + x + 1}dx .

Opgave 2

Lad afbildningen A : ℓ_{2}(N) → ℓ_{2}(N) være givet ved

A(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, …) = (x_{1} + x_{2}, x_{2} + x_{3}, x_{3} + x_{4}, …) ,

d.v.s. for x = (x_{1}, x_{2}, x_{3}, …) ∈ ℓ_{2}(N) er det n’te element i følgen Ax givet ved

(Ax)_{n} = x_{n} + x_{n+1} , n ∈ N .

a) Gør rede for, at A er en begrænset lineær operator på ℓ_{2}(N) (med det sædvanlige indre produkt), og vis, at ∥A∥ ≤ 2.

b) Gør rede for, at den adjungerede operator A^{∗} til A er givet ved

A^{∗}(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, …) = (x_{1}, x_{1} + x_{2}, x_{2} + x_{3}, x_{3} + x_{4}, …)

for (x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, …) ∈ ℓ_{2}(N).

c) Vis, at A hverken er selvadjungeret eller unitær.

d) Vis, at hvis x = (x_{1}, x_{2}, x_{3}, …) ∈ ℓ_{2}(N) er en egenvektor for A med egenværdi a, da

gælder

x_{n+1} = (a − 1)x_{n} , n ∈ N .

Bestem herudfra samtlige egenværdier for A.

6. december 2002/LK Opgavesættet fortsættes på side 2 Københavns Universitet Prøve ved Det naturvidenskabelige Fakultet sommer 2002 Matematik F1

Side 2

Opgave 3

Betragt følgende anden ordens lineære differentialligning

x^{2}y′′ + x(2x − 5)y′ + 9y = 0 . (∗)

a) Gør rede for, at (∗) har en løsning af formen

y(x) = x^{r} ∑_{n=0}^{∞} a_{n}x^{n} , (∗∗)

bestem r og vis, at koefficienterne a_{n} opfylder rekursionsformlen

n^{2}a_{n} + 2(n + 2)a_{n−1} = 0 for n ≥ 1 .

b) Vis, at

a_{n} = \frac{(−2)^{n}(n + 2)(n + 1)}{n!} , n ≥ 0 ,

(hvor 0!=1) tilfredsstiller førnævnte rekursionsformel, og bestem definitionsintervallet for den derved fremkomne løsning (∗∗).

Opgave 4

Lad funktionen f : R → R være givet ved

f(x) = | cos x| , x ∈ R .

a) Vis, at funktionen f er lige og periodisk med periode π. Skitsér grafen for f i intervallet [−2π, 2π].

b) Gør rede for, at Fourier rækken for f er

\frac{2}{π} − \frac{4}{π} ∑_{n=1}^{∞} \frac{(−1)^{n}}{4n^{2} − 1} cos 2nx .

c) Gør rede for, at ovennævnte række er konvergent i alle punkter x ∈ R, og at dens sum er f(x).

d) Angiv løsningen u til problemet

\{ \begin{matrix}\frac{∂u}{∂t} = 3\frac{∂^{2}u}{∂x^{2}} , 0 < x < π , t > 0 \\ u(x, 0) = | cos x| , 0 ≤ x ≤ π \\ \frac{∂u}{∂x}(0, t) = \frac{∂u}{∂x}(π, t) = 0 , t > 0 \end{matrix}

på rækkeform. Svaret kræves begrundet.