Københavns Universitet Prøve ved Det naturvidenskabelige Fakultet sommer 2001

Matematik F1

Opgavesæt til besvarelse i 4 timer. Sættet består af 4 opgaver. Alle sædvanlige hjælpemidler, dvs. bøger, notater og lommeregnere kan benyttes.

De stillede opgaver vægtes tilnærmelsesvis ens.

Opgave 1

Lad den komplekse funktion f være givet ved udtrykket

f(z) = \frac{1 − z^{2}}{4 + z^{4}} .

a) Angiv den største delmængde af ℂ, hvori f er analytisk, bestem funktionens poler og nulpunkter, samt disses ordener.

b) Begrund, at f i en omegn af z = 0 har en potensrækkefremstilling

∑_{n=0}^{∞} a_{n}z^{n} ,

og gør rede for, at

a_{n} = \{ \begin{matrix}0 , hvis n er ulige, \\ − (−4)^{−(m+1)} , hvis n = 4m, m = 0, 1, 2, … \\ (−4)^{−(m+1)} , hvis n = 4m + 2, m = 0, 1, 2, … \end{matrix}

Bestem endvidere rækkens konvergensradius.

c) Udregn integralet

∫_{−∞}^{+∞} \frac{1 − x^{2}}{4 + x^{4}} dx .

Opgave 2

Lad H være et komplekst Hilbert rum med indre produkt ⟨·, ·⟩ og e_{1}, e_{2}, … en ortonormalbasis for H.

a) Gør rede for, at rækken

∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n^{2} + 2}e_{n}

er konvergent i H. Vi kalder dens sum for v.

6. juni 2001/LK Opgave 2 fortsættes på side 2 Københavns Universitet Prøve ved Det naturvidenskabelige Fakultet sommer 2001 Matematik F1

Side 2

b) Idet u = e_{4} − 2e_{10}, skal man beregne ⟨u, v⟩ og bestemme projektionen af v på (underrummet udspændt af) u.

c) Lad opertoren A på H være givet ved

Av = ∑_{n=1}^{∞} \frac{λ_{2n}}{n^{2} − 7n + 11}e_{2n} for x = ∑_{n=1}^{∞} λ_{n}e_{n} ∈ H .

Begrund, at A er en begrænset og selvadjungeret operator.

d) Vis, at e_{1} og u (som givet i b)) er egenvektorer for A og bestem de tilhørende egenværdier.

e) Bestem samtlige egenværdier for A.

Opgave 3

Betragt følgende anden ordens lineære differentialligning

(x^{2} + 2x)y′′ + (3x + 4)y′ + y = 0 .

a) Godtgør, at 0 er et singulært punkt for denne differentialligning. Opstil indeksligningen og bestem dens rødder.

b) Bestem en løsning y på formen

y(x) = ∑_{n=0}^{∞} a_{n}x^{n} ,

for hvilken der gælder, at y(0) = 1. Bestem endvidere potensrækkens konvergensradius.

Vink. Vis først, at hvis y som angivet er en løsning, da må

∑_{n=0}^{∞}(n + 1){(n + 1)a_{n} + 2(n + 2)a_{n+1}}x^{n} = 0 .

c) Angiv et eksplicit udtryk for løsningen fundet under b) ved at bestemme summen af potensrækken.

Opgave 4

Lad funktionen f : ℝ → ℝ være givet ved

f(x) = | sin \frac{1}{2}x| , x ∈ ℝ .

Opgave 4 fortsættes på side 3 Københavns Universitet Prøve ved Det naturvidenskabelige Fakultet sommer 2001 Matematik F1

Side 3

a) Vis, at funktionen f er lige og periodisk med periode 2π. Skitsér grafen for f i intervallet [−2π, 2π].

b) Gør rede for, at Fourier rækken for f er

\frac{2}{π} − \frac{4}{π} ∑_{n=1}^{∞} \frac{cos nx}{4n^{2} − 1} .

c) Gør rede for, at ovennævnte række er konvergent i alle punkter x ∈ ℝ, og at dens sum er f(x).

d) Angiv løsningen u til problemet

\{ \begin{matrix}\frac{∂u}{∂t} = 5\frac{∂^{2}u}{∂x^{2}} , 0 < x < 2π , t > 0 \\ u(x, 0) = | sin \frac{1}{2}x| , 0 ≤ x ≤ 2π \\ \frac{∂u}{∂x}(0, t) = \frac{∂u}{∂x}(2π, t) = 0 , t > 0 \end{matrix}

på rækkeform. Svaret kræves begrundet.