Københavns Universitet Prøve ved Det naturvidenskabelige Fakultet sommer 2000

Matematik F1

Opgavesæt til besvarelse i 4 timer. Sættet består af 4 opgaver. Alle sædvanlige hjælpemidler, dvs. bøger, notater og lommeregnere kan benyttes. De stillede opgaver vægtes tilnærmelsesvis ens.

Opgave 1

Lad den komplekse funktion f være givet ved

f(z) = \frac{e^{z}}{z^{2}} + \frac{sin z}{z^{2} + 1} .

a) Angiv den største delmængde af ℂ, hvori f er analytisk, og bestem de punkter, hvori f har en pol, samt ordenen af polerne.

b) Begrund, at f har en potensrækkefremstilling

∑_{n=0}^{∞} a_{n}(z − 1)^{n}

i en omegn af 1, og bestem rækkens konvergensradius.

c) Beregn koefficienterne a_{0}, a_{1} og a_{2} i potensrækken i b).

d) Bestem værdien af integralerne

∮_{C( \frac{6}{5} )} f(z)dz og ∮_{C( \frac{3}{2} )} f(z)dz,

hvor C(r) betegner cirklen med centrum i 1 og radius r, orienteret mod uret.

Opgave 2

For en vilkårlig følge x = (x_{1}, x_{2}, …, x_{n}, …) tilhørende Hilbert rummet ℓ^{2}(ℕ) sættes

Ax = (\frac{2}{1}x_{1}, \frac{2^{2}}{\sqrt{2}} x_{2}, \frac{2^{3}}{\sqrt{6}} x_{3}, …, \frac{2^{n}}{\sqrt{n!}} x_{n}, …) .

a) Gør rede for, at der herved defineres en begrænset lineær operator på ℓ^{2}(ℕ).

b) Vis, at følgen a = (2^{− \frac{1}{2}} , 2^{−1}, 2^{− \frac{3}{2}} , …, 2^{− \frac{n}{2}} , …) tilhører ℓ^{2}(ℕ) og beregn ∥a∥ og ∥Aa∥, hvor ∥ · ∥ betegner normen i ℓ^{2}(ℕ).

c) Vis, at \frac{8}{\sqrt{6}} er egenværdi for A og find to tilhørende lineært uafhængige egenvektorer.

d) Gør rede for, at A er selvadjungeret.

11. april 2001/LK Opgavesættet fortsættes på side 2 Københavns Universitet Prøve ved Det naturvidenskabelige Fakultet sommer 2000 Matematik F1

Side 2

Opgave 3

Betragt følgende anden ordens lineære differentialligning

x(2 − x)y′′ − (2 + x)y′ + y = 0 .

a) Godtgør, at 0 er et singulært punkt for denne differentialligning. Opstil indeksligningen og bestem dens rødder.

b) Bestem en ikke triviel løsning y angivet på formen

y(x) = x^{r} ∑_{n=0}^{∞} a_{n}x^{n} ,

hvor potensrækken har positiv konvergensradius. Bestem rækkens konvergensradius.

c) Angiv et eksplicit udtryk for løsningen fundet under b) ved at bestemme summen af potensrækken.

Opgave 4

Lad funktionen f : [0, π] → ℝ være givet ved

f(x) = | sin 2x| , x ∈ [0, π] .

a) Skitsér grafen for den ulige periodiske udvidelse af f med periode 2π i intervallet [−3π, 3π].

b) Gør rede for, at Fourier sinus-rækken for f er

\frac{8}{π} ∑_{n=0}^{∞} \frac{(−1)^{n+1}}{(2n − 1)(2n + 3)} sin(2n + 1)x .

c) Gør rede for, at ovennævnte række er konvergent i alle punkter x ∈ ℝ og bestem rækkens sum for hvert x ∈ ℝ.

d) Angiv løsningen u til problemet

\{ \begin{matrix}\frac{∂u}{∂t} = 3\frac{∂^{2}u}{∂x^{2}} , 0 < x < π , t > 0 \\ u(x, 0) = | sin 2x| , 0 ≤ x ≤ π \\ u(0, t) = u(π, t) = 0 , t ≥ 0 \end{matrix}

på rækkeform.