Matematik F1

Opgavesæt til besvarelse i 4 timer. Sættet består af 4 opgaver og er på 3 sider. Alle sædvanlige hjælpemidler, d.v.s. bøger, notater og lommeregnere kan benyttes. Det er tilladt at skrive med blyant, når blot skriften er tydeligt læsebar. De stillede opgaver vægtes tilnærmelsesvis ens.

Opgave 1

Lad den komplekse funktion f være givet ved udtrykket

f(z) = \frac{e^{z}}{1 − cosh z} .

a) Begrund, at z = 0 er en pol af orden 2 for f.

b) Bestem samtlige poler for f samt deres orden, og gør rede for, at der findes et R > 0, således at f har en Laurent række fremstilling

f(z) = \frac{a_{−2}}{z^{2}} + \frac{a_{−1}}{z} + a_{0} + a_{1}z + …

for 0 < |z| < R. Angiv den størst mulige værdi af R.

c) Gør rede for, at a_{−2} = −2 og a_{−1} = −2.

d) Bestem værdien af kurveintegralet

∮_{C} f(z)dz ,

hvor C betegner cirklen med centrum i 0 og radius 1, orienteret mod uret.

Opgave 2

Lad afbildningen A : ℓ_{2}(ℕ) → ℓ_{2}(ℕ) være givet ved

A(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, …) = (x_{2}, \frac{1}{2}x_{3}, \frac{1}{3}x_{4}, …) ,

d.v.s. for x = (x_{1}, x_{2}, …) ∈ ℓ_{2}(ℕ) er det n’te element i følgen Ax givet ved

(Ax)_{n} = \frac{1}{n}x_{n+1} , n ∈ ℕ .

a) Gør rede for, at A er en begrænset lineær operator på ℓ_{2}(ℕ) (med det sædvanlige indre produkt), og vis, at ∥A∥ ≤ 1.

b) Find samtlige vektorer x ∈ ℓ_{2}(ℕ), for hvilke ∥Ax∥ = ∥x∥ og bestem herved ∥A∥.

c) Gør rede for, at den adjungerede operator A^{∗} er givet ved

(A^{∗}x)_{n} = \begin{cases}0 for n = 1 \\ \frac{1}{n−1} x_{n−1} for n ≥ 2 . \end{cases}

d) Vis, at 0 er den eneste egenværdi for A og bestem samtlige tilhørende egenvektorer.

Opgave 3.

Betragt følgende anden ordens lineære differentialligning

(1 − x^{2})y′′ − 6xy′ − 4y = 0 . (∗)

a) Gør rede for, at hvis

y(x) = ∑_{n=0}^{∞} a_{n}x^{n} ,

er en løsning til (∗), da opfylder koefficienterne a_{n} rekursionsformlen

(n + 2)a_{n+2} = (n + 4)a_{n} for n = 0, 1, 2, …

b) Find to lineært uafhængige potensrækkeløsninger til (∗) og bestem de respektive potensrækkers konvergensradier.

Opgave 4.

Lad funktionen f : [0, π] → ℝ være givet ved

f(x) = \begin{cases}cos x for 0 ≤ x ≤ \frac{π}{2} \\ 0 for \frac{π}{2} < x ≤ π . \end{cases}

a) Gør rede for, at Fourier cosinus rækken for f er

\frac{1}{π} + \frac{1}{2} cos x + \frac{2}{π} ∑_{k=1}^{∞} \frac{(−1)^{k}}{1 − 4k^{2}} cos 2kx .

Københavns Universitet Prøve ved Det naturvidenskabelige Fakultet januar 2004 3

b) Begrund, at ovennævnte række er konvergent for alle x ∈ ℝ og skitser grafen for sumfunktionen i intervallet [−2π, 2π].

c) Vis, at

∑_{k=1}^{∞} \frac{(−1)^{k}}{1 − 4k^{2}} = \frac{π}{4} − \frac{1}{2} .

d) Lad u(x, t) være løsningen til følgende problem:

\begin{cases}\frac{∂u}{∂t} = 4\frac{∂^{2}u}{∂x^{2}} , & 0 < x < π , t > 0 \\ \frac{∂u}{∂x}(0, t) = \frac{∂u}{∂x}(π, t) = 0 , & t > 0 \\ u(x, 0) = cos x & 0 ≤ x ≤ \frac{π}{2} \\ u(x, 0) = 0 & \frac{π}{2} < x ≤ π . \end{cases}

Angiv et udtryk for u(x, t) på rækkeform.