Københavns Universitet Prøve ved Det naturvidenskabelige Fakultet vinteren 2002/03

Matematik F1

Opgavesæt til besvarelse i 4 timer. Sættet består af 4 opgaver. Alle sædvanlige hjælpemidler, dvs. bøger, notater og lommeregnere kan benyttes.

De stillede opgaver vægtes tilnærmelsesvis ens.

Opgave 1

Lad den komplekse funktion f være givet ved udtrykket

f(z) = \frac{z − 3}{(z − i)^{2}(z + 2i)} .

a) Angiv den største delmængde af den komplekse plan, hvori f er analytisk, og bestem funktionens poler og nulpunkter samt disses ordener.

b) Begrund, at f i en omegn af z = 1 har en potensrækkefremstilling

∑_{n=0}^{∞} a_{n}(z − 1)^{n} ,

og bestem rækkens konvergensradius.

c) Vis, at der for hvert reelt tal x gælder, at realdelen af f(x) er givet ved

Ref(x) = \frac{(x − 3)(x^{3} + 3x)}{(x^{2} + 1)^{2}(x^{2} + 4)}

og udregn integralet

∫_{−∞}^{+∞} \frac{(x − 3)(x^{3} + 3x)}{(x^{2} + 1)^{2}(x^{2} + 4)}dx .

Opgave 2

Lad H være et komplekst Hilbert rum med indre produkt ⟨·, ·⟩ og tilhørende norm ∥ · ∥, og lad (e_{1}, e_{2}, e_{3}, …) være en ortonormalbasis for H.

a) Gør rede for, at rækken

∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{2n + 1}e_{n}

er konvergent i H. Vi kalder dens sum for v.

b) Bestem projektionen af v på underrummet span{e_{1} + e_{2}, e_{3}}.

6. januar 2003/LK Opgave 2 fortsættes på side 2 Københavns Universitet Prøve ved Det naturvidenskabelige Fakultet vinteren 2002/03 Matematik F1

Side 2

c) Lad afbildningen A : H → H være givet ved

Ax = ∑_{n=1}^{∞}(λ_{n−1} + 2λ_{n} + λ_{n+1})e_{n} for x = ∑_{n=1}^{∞} λ_{n}e_{n} ∈ H ,

hvor vi bruger konventionen λ_{0} = 0. Vis, at

|λ_{n−1} + 2λ_{n} + λ_{n+1}|^{2} ≤ 6(|λ_{n−1}|^{2} + |λ_{n}|^{2} + |λ_{n+1}|^{2}) ,

og benyt dette til at redegøre for, at A er en begrænset lineær operator, hvis norm opfylder ∥A∥ ≤ \sqrt{18}.

d) Gør rede for, at A er selvadjungeret.

Opgave 3

Betragt følgende anden ordens lineære differentialligning

4x^{2}y′′ + 2x^{2}y′ − (x + 3)y = 0 .

a) Gør rede for, at 0 er et singulært punkt for denne differentialligning. Opstil indeksligningen og bestem dens rødder.

b) Bestem en (ikke-triviel) løsning y på formen

y(x) = x^{− \frac{1}{2}} ∑_{n=0}^{∞} a_{n}x^{n} ,

og begrund, at den er veldefineret for x ∈]0, ∞[.

Opgave 4

Lad funktionen f være defineret på intervallet [0, π] ved

f(x) = \{ \begin{matrix}x^{2} for 0 ≤ x ≤ \frac{π}{2} \\ (π − x)^{2} for \frac{π}{2} ≤ x ≤ π . \end{matrix}

a) Vis, at Fourier rækken for udvidelsen af f til en ulige periodisk funktion med periode 2π er

4 ∑_{n=0}^{∞} (\frac{(−1)^{n}}{(2n + 1)^{2}} − \frac{2}{π(2n + 1)^{3}} ) sin (2n + 1)x .

b) Afgør, for hvilke reelle tal x denne række er konvergent og bestem dens sum for alle sådanne x.

Opgave 4 fortsættes på side 3 Københavns Universitet Prøve ved Det naturvidenskabelige Fakultet vinteren 2002/03 Matematik F1

Side 3

c) Lad u(x, t) være løsningen til problemet

\{ \begin{matrix}\frac{∂u}{∂t} = 2\frac{∂^{2}u}{∂x^{2}} , 0 < x < π , t > 0 \\ u(x, 0) = \{ \begin{matrix}x^{2} for 0 ≤ x ≤ \frac{π}{2} \\ (π − x)^{2} for \frac{π}{2} ≤ x ≤ π \end{matrix} \\ u(0, t) = u(π, t) = 0 , t > 0 . \end{matrix}

Bestem Fourier sinus rækken for funktionen x → u(x, \frac{1}{2}).