Københavns Universitet Prøve ved Det naturvidenskabelige Fakultet vinteren 2001/02

Matematik F1

Opgavesæt til besvarelse i 4 timer. Sættet består af 4 opgaver. Alle sædvanlige hjælpemidler, d.v.s. bøger, notater og lommeregnere kan benyttes.

De stillede opgaver vægtes tilnærmelsesvis ens.

Opgave 1

Lad den komplekse funktion f være givet ved udtrykket

f(z) = \frac{1 − cos z}{i + z} .

a) Angiv den største delmængde af ℂ, hvori f er analytisk, og bestem f’s poler og nulpunkter samt deres orden.

b) Gør rede for, at f har en potensrækkefremstilling

∑_{n=0}^{∞} a_{n}z^{n}

i en omegn af z = 0 og bestem rækkens konvergensradius.

c) Bestem koefficienterne a_{0}, a_{1} og a_{2} i ovennævnte potensrække.

d) Bestem værdien af kurveintegralet

∮_{C} \frac{f(z)}{z^{3}}dz ,

hvor C betegner cirklen med centrum i 0 og radius 2, orienteret mod uret.

Opgave 2

Lad afbildningen A : ℓ_{2}(ℕ) → ℓ_{2}(ℕ) være givet ved

A(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, …) = (x_{2}, x_{4}, x_{6}, x_{8}, …) ,

d.v.s. for x = (x_{1}, x_{2}, …) ∈ ℓ_{2}(ℕ) er det n’te element i følgen Ax givet ved

(Ax)_{n} = x_{2n} , n ∈ ℕ .

a) Gør rede for, at A er en begrænset lineær operator på ℓ_{2}(ℕ) (med det sædvanlige indre produkt), og bestem ∥A∥.

b) Eftervis, at 0 er en egenværdi for A og bestem det tilhørende egenrum.

c) Gør rede for, at den adjungerede operator A^{∗} til A er givet ved

A^{∗}(x_{1}, x_{2}, x_{3}, …) = (0, x_{1}, 0, x_{2}, 0, x_{3}, …)

for (x_{1}, x_{2}, x_{3}, …) ∈ ℓ_{2}(ℕ).

d) Gør rede for, at hvis a er en egenværdi for A, da er |a| < 1.

Vink: Vis og udnyt, at der for en egenvektor (x_{1}, x_{2}, …) gælder, at x_{2^{k}n} = a^{k}x_{n} for k, n ∈ ℕ.

8. januar 2002/LK Opgavesættet fortsættes på side 2 Københavns Universitet Prøve ved Det naturvidenskabelige Fakultet vinteren 2001/02 Matematik F1

Side 2

Opgave 3

Betragt følgende anden ordens lineære differentialligning

4xy′′ + (1 − 4x)y′ − y = 0 .

a) Gør rede for, at 0 er et singulært punkt for denne differentialligning. Opstil indeksligningen og find dens rødder.

b) Bestem to lineært uafhængige løsninger af formen

y(x) = x^{r} ∑_{n=0}^{∞} a_{n}x^{n} ,

og find de tilsvarende potensrækkers konvergensradier.

Opgave 4

Lad funktionen f : [0, π] → ℝ være givet ved

f(x) = (\frac{π}{2} − x) sin x for x ∈ [0, π] .

a) Gør rede for, at Fourier sinus rækken for f er

\frac{4}{π} ∑_{n=2}^{∞} \frac{n(1 + (−1)^{n})}{(n^{2} − 1)^{2}} sin nx .

b) Begrund, at ovennævnte række er konvergent for alle x ∈ ℝ og bestem rækkens sum for hvert x ∈ ℝ.

c) Lad u(x, t) være løsningen (i generaliseret forstand) til følgende problem:

\frac{∂^{2}u}{∂t^{2}} − \frac{∂^{2}u}{∂x^{2}} = 0 , 0 < x < π , t ∈ ℝ

u(0, t) = u(π, t) = 0 , t ∈ ℝ

u(x, 0) = (\frac{π}{2} − x) sin x , 0 ≤ x ≤ π

\frac{∂u}{∂t}(x, 0) = 0 , 0 ≤ x ≤ π .

Gør rede for, at der for n = 2, 3, … gælder, at

∫_{0}^{π} u(x, 1) sin nxdx = \frac{2n(1 + (−1)^{n})}{(n^{2} − 1)^{2}} cos n .

d) Bestem u(\frac{π}{2} , \frac{3π}{4} ).