Københavns Universitet Prøve ved Det naturvidenskabelige Fakultet vinteren 2000/01

Matematik F1

Opgavesæt til besvarelse i 4 timer. Sættet består af 4 opgaver. Alle sædvanlige hjælpemidler, d.v.s. bøger, notater og lommeregnere kan benyttes.

De stillede opgaver vægtes tilnærmelsesvis ens.

Opgave 1

Lad den komplekse funktion f være givet ved udtrykket

f(z) = \frac{1 + e^{iπz}}{1 + z^{3}} .

a) Bestem polerne og nulpunkterne for funktionen f samt deres orden.

b) Gør rede for, at f har en potensrækkefremstilling i en omegn af z = 0 og bestem rækkens konvergensradius.

c) Bestem de første tre led i ovennævnte potensrække.

d) Udregn

∫_{−∞}^{∞} \frac{1 + cos(πx)}{1 + x^{3}}dx .

Opgave 2

Lad afbildningen A : ℓ^{2}(ℕ) → ℓ^{2}(ℕ) være givet ved

A(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, …) = (x_{2}, −x_{1}, x_{4}, −x_{3}, …) .

a) Gør rede for, at ∥Ax∥ = ∥x∥ for alle x ∈ ℓ^{2}(ℕ), hvor ∥ · ∥ betegner den sædvanlige norm på ℓ^{2}(ℕ).

b) Vis, at A er en begrænset lineær operator på ℓ^{2}(ℕ) og bestem ∥A∥.

c) Vis, at A har ±i som eneste egenværdier.

d) Vis. at mængden {A, A^{2}, A^{3}, I} med sammensætning af afbildninger som kompositionsregel er en cyklisk gruppe af orden fire.

Opgave 3

Betragt følgende anden ordens lineære differentialligning

4x^{2}y′′ + 10xy′ + (2 + x)y = 0 .

22. december 2000/LK Opgave 3 fortsættes på side 2 Københavns Universitet Prøve ved Det naturvidenskabelige Fakultet vinteren 2000/01 Matematik F1

Side 2

a) Gør rede for, at 0 er et singulært punkt for denne differentialligning. Opstil indeksligningen og find dens rødder.

b) Bestem en (ikke triviel) løsning y på formen

y(x) = x^{r} ∑_{n=0}^{∞} a_{n}x^{n} ,

og begrund, at den er defineret på ]0, ∞[.

c) Bestem samtlige løsninger til differentialligningen på ]0, ∞[.

Opgave 4

Lad funktionen f : [0, 1] → ℝ være givet ved

f(x) = x sin(πx) for x ∈ [0, 1] .

a) Skitser grafen for den ulige periodiske udvidelse af f med periode 2 i intervallet [−3, 3].

b) Bestem koefficienterne b_{n}, n ∈ ℕ, i Fourier sinus rækken for f.

c) Gør rede for, at ovennævnte række er konvergent for alle x ∈ ℝ og bestem rækkens sum for x = \frac{1}{2} og for x = −\frac{5}{2}.

d) Angiv på rækkeform løsningen u til følgende problem:

\frac{∂u}{∂t} = 5\frac{∂^{2}u}{∂x^{2}}, 0 < x < 1, t > 0

u(x, 0) = x sin(πx), 0 ≤ x ≤ 1

u(0, t) = u(1, t) = 0, t ≥ 0 .