\documentclass[12pt]{article}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage[danish]{babel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{enumerate}
\parindent=0pt\parskip=\bigskipamount
\usepackage[colorlinks=true,urlcolor=blue,bookmarksopen=false,pdfpagemode=None]{hyperref}
\newcommand{\Q}{{\mathord{\mathbb Q}}}
\newcommand{\inv}{^{-1}}
\newcommand{\RR}{{\mathord{\mathbb R}}}
\newcommand{\CC}{{\mathord{\mathbb C}}}
\newcommand{\m}[1]{\underline{\underline{#1}}}
\begin{document}
\begin{center}
\Huge
\underline{\href{http://isis.ku.dk/kurser/index.aspx?kursusid=27393&xslt=simple6&param8=false&param1=199783}{LinAlg
  2008}}\\
Uge 6, 15.12 -- 19.12
\end{center}


Nu starter vi på det sidste store tema på LinAlg ---
diagonalisering. 


{\Large\bf Forelæsning 6a:} (NVP: 6.1)
Friheden i selv at vælge baser. Egenvektorer og
egenværdier. Karakteristisk polynomium. Diagonaliserbarhed fortolket
som ``\textsl{der findes en basis af
  egenvektorer}''. Diagonaliserbarhed fortolket som ``\textsl{Der
  findes regulær $\m S$ så $\m S\m A\m S\inv$ er diagonal}''.


{\Large\bf Øvelser:} 
Løs NVP: Ø121, Ø123, Ø124, Ø127, H29. 


{\Large\bf Klassetime 6a:} Gennemgang af udvalgte opgaver fra
øvelserne. Diskussion af hvorledes ugeopgave 1.1 relaterer til
diagonalisering. Gennemgang af
\href{http://www.math.ku.dk/kurser/2008-09/blok2/linalg/AFLEVERINGSOPGAVER/opgave4.pdf}{ugeopgave
  4}.
Sidste frist for aflevering af  \href{http://www.math.ku.dk/kurser/2008-09/blok2/linalg/AFLEVERINGSOPGAVER/opgave5.pdf}{ugeopgave
5}.


{\Large\bf Forelæsning 6b:} (NVP 6.2--6.3) Multipliciteter. Metoder
til afgørelse af diagonaliserbarhed.  Om at diagonalisere i Maple.


{\Large\bf Egen tid:} 
Arbejd med ugeopgave 6 og med opgaver stillet til klassetime 6b. Løs
nogle af ugens stillede opgaver (fx Ø124, Ø125, Ø127, H29) i Maple. 


{\Large\bf Forelæsning 6c:} (NVP 6.4) Talfølgen
$0,1,1,2,3,5,8,13,21,44,65,\dots$  Flere anvendelser af
diagonaliseringsteorien.
Potensopløftning. Overgangsmodeller. 

\clearpage
{\Large\bf Klassetime 6b:} 
\begin{itemize}
\item Løs opgaverne Ø122, Ø125, H28, H30, B15.
\item Løs følgende gamle eksamensopgaver fra kurser der er beslægtet
  med LinAlg:
\begin{itemize}
\item
\href{http://www.math.ku.dk/kurser/2004-05/blok2/linalg/EKSAMEN/sex03ann.pdf}{1GA Sommer 03}, opgave 4
\item \href{http://www.math.ku.dk/kurser/2004-05/blok2/linalg/EKSAMEN/1gb/eksamenV2003.pdf}{1GB Vinter 03}, opgave 5
\item \href{http://www.math.ku.dk/kurser/2004-05/blok2/linalg/EKSAMEN/1gb/reeksamenS2002.pdf}{1GB Reeksamen 02}, opgave 3
\end{itemize}
\end{itemize}

\small
%\item \href{http://www.math.ku.dk/kurser/2004-05/blok2/linalg/EKSAMEN/sex03ann.pdf}{1GA Sommer 03}, opgave 4
\begin{center}
\bf 1GA Sommer 2003, opgave 4
\end{center}
Vi betragter et vektorrum $V$ af dimension 3 og en lineær
afbildning
\[
T:V\longrightarrow V.
\]
Vektorrummet $V$ er udstyret med to forskellige baser, der benævnes
henholdsvis $B$ og $C$.
\begin{enumerate}[(a)]
\item
Det oplyses, at koordinatskiftematricen for overgang fra basen $B$ til
basen $C$ er
givet ved matricen
\[
\left[ 
{\begin{array}{rrr}
1 & 0 & 2 \\
-1 & 1 & -1 \\
2 & 1 & 1
\end{array}}
 \right] 
\]
Bestem  koordinatskiftematricen for overgang fra basen $C$ til basen
$B$.
\item Det oplyses, at matricen for $T$ med hensyn til basen $B$ er
givet ved
\[
 \left[ 
{\begin{array}{crr}
-2 & 0 & -2 \\
{ {1}/{2}}  & -1 & 1 \\ 
{{3}/{2}}  & 0 & 2
\end{array}}
 \right].
\]
 Bestem matricen for $T$ med hensyn til basen $C$ og bemærk at alle
dens indgange er enten $-1$, $0$ eller $1$.
\item Lad $A$ betegne matricen for $T$ med hensyn til basen $C$, som
bestemt i spørgsmål (b). Vis at matrixproduktet $AA$ er lig med
identitetsmatricen, og konklud\'er dels at $T$ er en invertibel
afbildning, dels at der gælder
\[
T^{-1}=T.
\]
\end{enumerate}

\begin{center}{\bf 1GB Vinter 2003, opgave 5} \end{center}

Betragt matricen 
$$
B=\left[ \begin {array}{ccc} 4&-1&-2\\\noalign{\medskip}2&1&-2\\\noalign{\medskip}1&-1&1\end {array} \right] 
$$
\begin{description}
\item[(a)] Eftervis at det karakteristiske polynomium er
$$ 
(3-\lambda)(2-\lambda)(1-\lambda).
$$
\item[(b)] Bestem samtlige egenværdier og tilhørende egenvektorer for matricen $B$.
\item[(c)] Bestem samtlige egenværdier og tilhørende egenvektorer for
  matricen 
$
  A={B}^{4}-5\,{B}^{3}+9\,{B}^{2}-7\,B+2E
$ ({\it Hjælp:} Du behøver ikke beregne matricen $A$).
\end{description}

\begin{center}{\bf 1GB Reeksamen 2002, opgave 3}\end{center}
Lad $A$ være en $2\times2$-matrix med egenværdier 1 og 2 og tilhørende
egenvektorer $$\left( \begin {array}{c} 1\\\noalign{\medskip}-2\end
  {array} \right)\quad\hbox{og}\quad\left( \begin {array}{c} -1\\\noalign{\medskip}3\end
  {array} \right).$$
\begin{description}
\item[(a)] Bestem matricen $A$. {\small {\it Hjælp:}  
$\left( \begin {array}{cc} a&b\\\noalign{\medskip}c&d\end {array}
\right)^{-1}
=(ad-bc)^{-1} \left( \begin {array}{cc} d&-b\\\noalign{\medskip}-c&a\end {array}\right)$.}
\item[(b)] Bestem matricen $A^{-10}$. 

\item[(c)] Lad $B$ være en $2\times2$-matrix med de samme egenvektorer
  som $A$. Vis at matricen $A+B$ er diagonaliserbar, ligegyldig hvilke
  egenværdier $B$ har.
\end{description}

\end{document}