\documentclass[12pt]{article}
\usepackage{amsfonts,amsmath,amssymb}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage[danish]{babel}
\parindent=0pt\parskip=\bigskipamount
\usepackage[colorlinks=true,urlcolor=blue,bookmarksopen=false,pdfpagemode=None]{hyperref}
\newcommand{\QQ}{{\mathord{\mathbb Q}}}
\newcommand{\RR}{{\mathord{\mathbb R}}}
\newcommand{\CC}{{\mathord{\mathbb C}}}
\newcommand{\tl}[1]{}%}{\footnote{Til lærerne: #1}}
\newcommand{\m}[1]{\underline{\underline{#1}}}
\newcommand{\Pol}{\operatorname{Pol}}
\begin{document}
\begin{center}
\Huge
\underline{\href{http://isis.ku.dk/kurser/index.aspx?xslt=default&kursusid=27393
}{LinAlg
  2008}}\\\huge
Uge 5, 08.12 -- 12.12, 2008
\end{center}

 
{\Large\bf Læsevejledning:} Det først emne i denne uge er
reelle skalarprodukter fra NVP 7.1 med nogle få tilføjelser fra 
\href{http://www.math.ku.dk/kurser/2008-09/blok2/linalg/NOTER/note5.pdf}{note
5} Afsnit N.5.2. Det sidste emne er 
koordinater og koordinattransformationer fra NVP Kapitel 5 og 
\href{http://www.math.ku.dk/kurser/2008-09/blok2/linalg/NOTER/note5.pdf}{note
5} Afsnit N.5.1. Note 5 er pensum. 




{\Large\bf Forelæsning 5a:} (NVP 7.1, Note N.5.2) Skalarprodukt og Gram-Schmidt ortonormalisering.

 
{\Large\bf Øvelser:} NVP: Ø128, Ø129, H31, samt de to ekstra opgaver 

{\bf E1:} Lad $V=\mathbb R^2$ og definer
$$
\underline{x}\cdot\underline{y}=3x_1y_1+4x_2y_2,\quad
\underline{x},\underline{y}\in V.
$$
Gør rede for at $\underline{x}\cdot\underline{y}$ er et skalarprodukt
i $V$, altså at S1-S5 gælder.

Lad $\underline{x}=(1,1),\underline{y}=(-4,3)$. Find længderne af
$\underline{x},\underline{y}$ med hensyn til det betragtede
skalarprodukt. Er $\underline{x}$ og $\underline{y}$ ortogonale i $V$?
Er de ortogonale i $\mathbb R^2$ med det sædvanlige skalarprodukt? Kan
3 og 4 i definitionen af skalarproduktet erstattes af andre tal? Kan
man gøre tilsvarende i $\mathbb R^n$?

\medskip
{\bf E2:} I vektorrummet $V=\Pol(\mathbb R)$ af polynomier
(jf. Eks. 4.1.3) defineres
$$
p\cdot q=\int_0^1 p(x)q(x)\,dx,\quad p=p(x),q=q(x)\in V.
$$
Vis, at $p\cdot q$ er et skalarprodukt i $V$, altså at S1-S5 gælder.

Vis at $p_0(x)=1,p_1(x)=\sqrt{3}(2x-1)$ er ortogonale enhedsvektorer i
$V$.

Find længden af polynomiet $x^n$ med hensyn til skalarproduktet i $V$.

\medskip
{\Large\bf Klassetime 5a:} \begin{itemize}
\item
  \href{http://www.math.ku.dk/kurser/2008-09/blok2/linalg/AFLEVERINGSOPGAVER/opgave4.pdf}{Ugeopgave
    4} afleveres.
\item
  \href{http://www.math.ku.dk/kurser/2008-09/blok2/linalg/AFLEVERINGSOPGAVER/opgave3.pdf}{Ugeopgave
    3} gennemgås.
\item Gennemgang af udvalgte opgaver fra øvelserne.
\item Introduktion af  koordinattransformationsmatricer (som bliver taget
  op ved forelæsning 5b). F.eks.\ koordinattransformationsmatricen mellem
  standard basen i $\RR^2$ og en anden ortonormalbasis.
\item Klasselæreren nævner kort hvad linear algebra bruges til i
  hans/hendes arbejdsområde.
\end{itemize}

{\Large\bf Forelæsning 5b:} (NVP 5.1--5.3) Koordinattransformationer
og lineære afbildninger repræsenteret ved matricer.

{\Large\bf Mapleopgaver:} 

Man kan hente hjælp i
\href{http://www.math.ku.dk/kurser/2008-09/blok2/linalg/MAPLE/manual5.html}{manual
  5}
\begin{itemize}
\item Mapleaspekter af \href{http://www.math.ku.dk/kurser/2008-09/blok2/linalg/AFLEVERINGSOPGAVER/opgave5.pdf}{ugeopgave 5}
\item Løs i maple opgaverne NVP Ø128, Ø129 samt 
Ø130(a,b) og Ø131(a,b)  (De to sidste opgaver er også stillet
  til klassetimen). 
\end{itemize} 

{\Large\bf Egen tid:} \begin{itemize}
\item Arbejd i grupper med
  \href{http://www.math.ku.dk/kurser/2008-09/blok2/linalg/AFLEVERINGSOPGAVER/opgave5.pdf}{ugeopgave
    5}.
\item Forbered tavlegennemgange af opgaverne stillet til Klassetime 5b.
\end{itemize}

{\Large\bf Forelæsning 5c:} (NVP 5.1--5.4) 
Mere om koordinattransformationer og determinant af lineær endomorfi.

{\Large\bf Klassetime 5b:} 
\begin{itemize}
\item Tavlegennemgang af NVP B16 (s. 189) og Ø130(a,b) eller Ø131(a,b).
\item Diskut\'er eventuelle udestående problemer i
  \href{http://www.math.ku.dk/kurser/2008-09/blok2/linalg/AFLEVERINGSOPGAVER/opgave5.pdf}{ugeopgave
    5}.
\item Hvis tiden tillader det, diskuteres igen diagrammerne fra \href{http://www.math.ku.dk/kurser/2008-09/blok2/linalg/NOTER/note5.pdf}{note
5}. 
\end{itemize}



\end{document}