\documentclass[12pt]{article}
\usepackage{amsfonts,%maple2e
}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\input{spline.sty}
\usepackage[danish]{babel}
\usepackage{amsmath}
\parindent=0pt\parskip=\bigskipamount
\usepackage[colorlinks=true,urlcolor=blue,bookmarksopen=false,pdfpagemode=None]{hyperref}
\newcommand{\Q}{{\mathord{\mathbb Q}}}
\newcommand{\RR}{{\mathord{\mathbb R}}}
\newcommand{\m}[1]{\underline{\underline{#1}}}
\begin{document}
\begin{center}
\Huge
\underline{\href{http://isis.ku.dk/kurser/index.aspx?xslt=default&kursusid=27393
}{LinAlg
  2008}}\\\huge
Uge 3, 24.11 -- 28.11, 2008
\end{center}

{\Large\bf Læsevejledning:}

\emph{Determinantfunktionen} $\det$ knytter til hver kvadratisk matrix et
reelt tal på en sådan måde at 
\[
\det(\m{A}\m{B})=\det(\m{A})\det(\m{B})
\]
og
\[
\m{A}\text{ er regulær}\Longleftrightarrow \det(\m{A})\not=0
\]

Vi skal i denne uge beskæftige os med hvordan man definerer og
udregner determinanter. Selve definitionen er svær, idet den benytter
sig af begrebet ``fortegn af permutation''. Vi skal ikke lægge så
meget vægt på dette, og vil gå let hen over beviserne, men i stedet koncentrere os om  alternative
metoder til at  regne determinanter ud. Det er dog vigtigt at vide, at
determinanten af en $n\times n$-matrix er en sum af $n!$ led. Hvert af
disse led er et produkt af $n$ tal fra matricen udvalgt med netop et
fra hver række og søjlenumrene er en permutation af tallene
$1,2,\ldots,n$. Halvdelen af leddene er forsynet med fortegnet
$+$, den anden halvdel af leddene med fortegnet $-$. For $3\times
3$-matricer kan man let lære at huske definitionen hvis man lærer {\it
  Pilereglen}: 

Det er en simpel huskeregel for hvordan man udregner determinanten af
en $3\times 3$-matrix
$$
\m{A}=\begin{pmatrix} a & b & c\\
d & e & f\\
g & h & i
\end{pmatrix}.
$$
Vi gentager de to første søjler efter de tre sidste søjler og tegner 6
pile

\centerline{\PSunit=0.5truecm
\PSpicture{11\PSunit}{11\PSunit}
\setPSarrowheadlength{7\PSlinewidth}
\llcoords{1 2}
\CTX{a}{1.5  9.5}
\CTX{b}{3.5  9.5}
\CTX{c}{5.5  9.5}
\CTX{a}{7.5  9.5}
\CTX{b}{9.5  9.5}
\CTX{d}{1.5  7.5}
\CTX{e}{3.5  7.5}
\CTX{f}{5.5  7.5}
\CTX{d}{7.5  7.5}
\CTX{e}{9.5  7.5}
\CTX{g}{1.5  5.5}
\CTX{h}{3.5  5.5}
\CTX{i}{5.5  5.5}
\CTX{g}{7.5  5.5}
\CTX{h}{9.5  5.5}
%\PSarrow{4 10  5 11}
\PSarrow{6 10  7 11}
\PSarrow{8 10  9 11}
\PSarrow{10 10  11 11}
\PSarrow{1 10  0 11}
\PSarrow{3 10  2 11}
\PSarrow{5 10  4 11}
\PSline{2 6  3 7}
\PSline{4 6  5 7}
\PSline{4 8  5 9}
\PSline{6 6  7 7}
\PSline{6 8  7 9}
\PSline{8 8  9 9}
\PSline{3 8  2 9}
\PSline{4 7  5 6}
\PSline{5 8  4 9}
\PSline{6 7  7 6}
\PSline{7 8  6 9}
\PSline{8 7  9 6}
\endPSpicture}
 \vskip-1truecm
Vi ganger nu de tre matrixelementer på hver af de nordvestgående pile
og forsyner dem med fortegn $+$ og dernæst ganger vi de tre
matrixelementer
på hver af de nordøstgående pile og forsyner dem med fortegn
$-$. Dermed får vi determinanten
$$
\det(\m{A})=aei + bfg + cdh - ceg - afh - bdi.
$$


{\Large\bf Forelæsning 3a:} (NVP: 3.1--3.4, 3.7)
Definition af determinanter (kun
overfladisk om ``fortegn''). Oversigt over determinantens
egenskaber--
 \href{http://www.math.ku.dk/kurser/2008-09/blok2/linalg/TRANSPARENTER/3a.pdf}{3a.pdf}.
Beregning ved rækkeoperationer. Beregning
ved udvikling. 

{\Large\bf Øvelser:} 
Løs NVP: Ø55 (brug pilereglen), Ø56, Ø57, Ø62, Ø63  samt  Ø68, Ø69,
Ø73, Ø77, Ø78.


{\Large\bf Klassetime 3a:} Gennemgang af udvalgte opgaver fra
øvelserne. Klasselæreren giver en oversigt over hvor deltagerne kan
have stødt på determinanten af en $2\times 2$-matrix i deres
matematikuddannelse.  Gennemgang af
\href{http://www.math.ku.dk/kurser/2008-09/blok2/linalg/AFLEVERINGSOPGAVER/opgave1.pdf}{
  ugeopgave 1}.


{\Large\bf Forelæsning 3b:} (NVP 3.6) Permutationer og deres fortegn. Gennemgang
af udvalgte argumenter i afsnit 3.4. Introduktion til Maple manual 3. 


{\Large\bf Egen tid:} \begin{itemize}
\item Afgør ved brug af \verb!Determinant! og \verb!solve! i Maple for hvilke $t\in\RR$ matricen
\[
\begin{bmatrix}1-t&1\\0&-t\end{bmatrix}
\]
er regulær.
\item Benyt i Maple funktionen \texttt{illustrer2} fra \href{http://www.math.ku.dk/kurser/2008-09/blok2/linalg/MAPLE/manual3.html}{Manual
3}
til at eksperimentere med
  forskellige lineære afbildninger fra $\RR^2$ til $\RR^2$. Forsøg at
  skaffe information om hvilken betydning determinanten for den
  bagvedliggende matrix har for en given lineær afbildning.
\item Arbejd med \href{http://www.math.ku.dk/kurser/2008-09/blok2/linalg/AFLEVERINGSOPGAVER/opgave3.pdf}{ugeopgave 3}
\item Forbered tavlegennemgange af opgaverne NVP: Ø63 (brug
\href{http://www.math.ku.dk/kurser/2008-09/blok2/linalg/MAPLE/manual3.html}{Manual
  3}
 som facitliste), Ø76, Ø80, Ø82
  stillet til klassetime 3b.
\end{itemize}

{\Large\bf Forelæsning 3c:} (NVP 3.5) Cramers
formel. Inversmatrixformlen. Vandermondes determinant--se
 \href{http://www.math.ku.dk/kurser/2008-09/blok2/linalg/TRANSPARENTER/3c.pdf}{3c.pdf}.
 


{\Large\bf Klassetime 3b:} 
\begin{itemize}
\item Diskuter i klassen opgaverne NVP: Ø65, Ø66.
\item Diskuter resultatet af eksperimentet med \texttt{illustrer2} og
  opgaven med regularitet af 
\[
\begin{bmatrix}1-t&1\\0&-t\end{bmatrix}
\]
herover . Sammenlign med \href{http://www.math.ku.dk/kurser/2005-06/blok2/linalg/AFLEVERINGSOPGAVER/opgave1.pdf}{ugeopgave 1}
\item Regn ved tavlen opgaverne NVP: Ø63, Ø76, Ø80, Ø82.
\item Diskuter eventuelle udestående problemer i \href{http://www.math.ku.dk/kurser/2008-09/blok2/linalg/AFLEVERINGSOPGAVER/opgave3.pdf}{ugeopgave 3}
\end{itemize}



\end{document}