\documentclass[12pt]{article} \usepackage{amsfonts,amsmath,amssymb} \usepackage[latin1]{inputenc} \usepackage[danish]{babel} \parindent=0pt\parskip=\bigskipamount \usepackage[colorlinks=true,urlcolor=blue,bookmarksopen=false,pdfpagemode=None]{hyperref} \newcommand{\Q}{{\mathord{\mathbb Q}}} \newcommand{\RR}{{\mathord{\mathbb R}}} \newcommand{\tl}[1]{}%}{\footnote{Til lærerne: #1}} \newcommand{\m}[1]{\underline{\underline{#1}}} \begin{document} \begin{center} \Huge \underline{\href{http://isis.ku.dk/kurser/index.aspx?xslt=default&kursusid=27393 }{LinAlg 2008}}\\\huge Uge 1, 10.11 -- 14.11 \end{center} Velkommen til LinAlg! Kursets format er for mange af jer nogenlunde kendt fra MatIntro og er i øvrigt grundigt beskrevet i en \href{http://www.math.ku.dk/kurser/2008-09/blok2/linalg/faciliteter08.pdf}{detaljeret kursusbeskrivelse}. Der skal dog fremhæves følgende forskelle mellem LinAlg og MatIntro: Kurset løber over 7 forelæsningsuger, så da pensum er lige så stort som i MatIntro kommer det hele til at gå lidt hurtigere. Endvidere uddelegerer vi et noget større ansvar til deltagerne om at holde sig ajour med opgaveregning -- altså ud over ugeopgaverne -- så man er klædt på til en skriftlig eksamen. Ugeopgaverne tæller 30\% af den endelige karakter i kurset. Resten af karakteren afgøres ved en skriftlig 3-timers prøve (den 20.01.09) efter forelæsningernes ophør. I de 6 ugeopgaver stilles to delopgaver, hvoraf kun den ene rettes. Hvilken der rettes afgøres ved lodtrækning efter afleveringsfristen. Der er ingen egentlige mapletimer, men instruktorer står til rådighed for spørgsmål ved skemalagte maplekonsultationstimer. Og i løbet af den lange dags ``egen tid'' forventes deltagerne at forberede tavlegennemgange af opgaver stillet til den lange dags klassetimer. Opdelingen i skemagrupperne A og C er kun begrundet i behovet for at have nok lokaler til antallet af studerende, der skal følge kurset. Forelæserne vil derfor gennemgå det samme i de to skemagrupper. Når der nedenfor henvises til forelæsninger 1a,1b,1c har bogstaverne ingen relation til skemagrupperne, der henvises blot til første, anden og tredie ``forelæsningstime'' i uge 1 i hver skemagruppe. Tilsvarende med klassetimer 1a og 1b. Vi bruger forelæsningsnoter af Niels Vigand Pedersen (NVP), hvor de 7 kapitler groft taget gennemgås uge for uge. Der vil være enkelte overspringelser, som vil blive meddelt senere. Bogen indeholder også et appendiks opdelt i 3 afsnit. Bogen indeholder opgaver opdelt i Hjemmeopgaver, Øvelsesopgaver og blandede opgaver, som vi henviser til som H1,Ø1,B1 osv. I den første uge går vi uden så meget snak straks i kødet på to helt centrale koncepter i kurset: \begin{itemize} \item matrixmultiplikation \item lineære afbildninger \end{itemize} Det skulle meget gerne blive lysende klart i løbet af kurset hvorfor disse begreber er interessante og vigtige, men i første omgang afsætter vi ikke så meget tid til at diskutere dette. Der er mange definitioner i spil fra starten. De fleste af dem ser formentlig bekendte ud fra gymnasiets undersøgelser af $\RR^2$ og $\RR^3$, så fokus\'er under læsning af kapitel 1 på begreberne fremhævet herover, og hvad de har med hinanden at gøre. Vi skal tale en del om injektive og surjektive afbildninger; disse begreber diskuteres kort og koncist i appendiks A.2. Vi vil benytte os af at I kender til komplekse tal fra MatIntro og Dims og helt fra starten af kurset inddrage dem, fx ved at regne på matricer med komplekse indgange. NVP siger ikke noget om dette emne, men heldigvis er der ikke de store forskelle på at arbejde reelt og komplekst før til allersidst i kurset. \href{http://www.math.ku.dk/kurser/2008-09/blok2/linalg/NOTER/note1.pdf}{Note 1} handler om dette aspekt. Det kan være praktisk at have betegnelser for mængden af alle de matricer vi ser på. Vi lader $\mathbb M_{m,n}$ betegne mængden af alle $m\times n$ matricer. Hvis vi vil understrege at indgangene i matricerne er reelle tal eller komplekse tal, skriver vi $\mathbb M_{m,n}(\mathbb R)$ eller $\mathbb M_{m,n}(\mathbb C)$. Hvis vi kigger på kvadratiske matricer, hvor $m=n$, kan vi nøjes med at skrive $\mathbb M_n(\mathbb R)$ hhv. $\mathbb M_n(\mathbb C)$ for mængden af kvadratiske $n\times n$ matricer af reelle hhv. komplekse tal. {\Large\bf Forelæsning 1a:} NVP:1.1, 1.2, 1.3 (kun definition af lineær afbildning), 1.4. Lynintroduktion med udgangspunkt i drejning og spejling. Operationer på $\RR^n$. Matricer. Matrixmultiplikation. Regneregler. Lineær afbildning, definition. Det komplekse tilfælde. {\Large\bf Øvelser:} Afgør hvilke af matricerne \begin{gather*} \m{A_1}=\left[ \begin {array}{cc} 2&5\\\noalign{\medskip}0&1\\\noalign{\medskip}4&-2\end {array} \right] \qquad \m{A_{{2}}} = \left[ \begin {array}{ccc} i&0&0\\\noalign{\medskip}0&-i&2+i\end {array} \right] \qquad \m{A_{{3}}} = \left[ \begin {array}{ccc} 4&4&5\end {array} \right] \\ \m{A_{{4}}} = \left[ \begin {array}{c} 2\\\noalign{\medskip}8\\\noalign{\medskip}0\\\noalign{\medskip}-4\end {array} \right] \qquad \m{A_{{5}}} = \left[ \begin {array}{ccc} 1&0&0\\\noalign{\medskip}1&2&1\\\noalign{\medskip}0&0&1\end {array} \right] \qquad \m{A_6}=\left[\begin{array}{cc}i&0\\0&1\end{array}\right] \end{gather*} det giver mening at multiplicere med hinanden, og bestem alle matrixprodukterne (der skal være 11 i alt!). Løs NVP: H3, Ø13, Ø15, Ø17, Ø18, Ø19. {\Large\bf Klassetime 1a:} (NVP:A.2, appendiks om afbildninger) Vælg eller genvælg en talsmand.\tl{Bed dem melde sig med en mail til SE (eilers@math.ku.dk) også selv om de er genvalgte} Eventuel gennemgang af udvalgte opgaver fra øvelserne.\tl{Gennemgå meget gerne den del af Ø15 der handler om egenskaber af matrixmultiplikation sammenlignet med sædvanlig multiplikation} Klasselæreren giver eksempler på lineære afbildninger, fx fra MatIntro. \tl{Bemærk den ikke-standard og lidt omvendte definition i NVP! Forsøg gerne at give eksempler fra de studerende eventuelle andet fag} Klasselæreren styrer en diskussion af begreberne \emph{afbildning}, \emph{injektiv}, \emph{surjektiv}, \emph{bijektiv} og \emph{omvendt afbildning}. {\Large\bf Forelæsning 1b:} (NVP 1.3 (resten), 1.5) Sammenhæng mellem lineære afbildninger og matricer. Søjlereglen. Sammensætning af afbildning svarer til produkt af matricer. Definition af regulær og invers matrix. Om at indtaste og manipulere matricer i Maple ved brug af pakken \texttt{LinearAlgebra}. {\Large\bf Egen tid:} Til de opgaver der skal løses ved hjælp af Maple skal man benytte den udarbejdede \href{http://www.math.ku.dk/kurser/2008-09/blok2/linalg/MAPLE/manual1.html}{maple manual1}. Den kan også downloades som en worksheet version fra hjemmesiden. \begin{itemize} \item Arbejd i grupper med ugeopgave 1. \item Forbered tavlegennemgange af opgaverne stillet til klassetime 1b. \item Løs NVP: H3, Ø17, Ø18 fra mandagsøvelserne i Maple. Løs NVP: Ø25 i Maple. Prøv at bruge \texttt{MatrixInverse(C)}. \end{itemize} {\Large\bf Forelæsning 1c:} (NVP 1.6, \href{http://www.math.ku.dk/kurser/2005-06/blok2/linalg/NOTER/note1.pdf}{Note 1}) Alternativ karakterisering af begrebet lineær afbildning. Linearitet bevares ved sammensætning og inversion. Transponeret matrix og afbildning. Opsamling om det komplekse tilfælde. {\Large\bf Klassetime 1b:} \begin{itemize} \item Løs ved tavlen opgaverne NVP: H1, H2, H5, H7, Ø21, Ø23, Ø25, Ø27 samt N1.1 fra Note 1.\tl{Der er nok for mange opgaver... det gør ikke noget hvis I ikke når dem alle.} \item Diskut\'er eventuelle udestående problemer i ugeopgave 1. \end{itemize} {\Large\bf Opgaver til fordybelse:} Løs opgaverne N1.2, N1.3. %Design en Maple-kommando \texttt{illustrer3d} der %viser effekten af en lineær afbildning fra $\RR^3$ til $\RR^2$ ved at %tegne op hvad afbildningen gør ved en passende valgt figur i $\RR^3$, og send %den til SE på \texttt{eilers@math.ku.dk}. Den bedste løsning %publiceres på hjemmesiden til stor ære for ophavsmændene/kvinderne. \end{document}