Egenværdi, egenvektorer og diagonalisering. 

I Maple finder vi egenværdier og egenvektorer ved brug af kommandoerne Eigenvectors og Eigenvalues begge fra pakken LinearAlgebra . Faktisk udregner kommandoen Eigenvectors både egenvektorer og egenværdier. Her er nogle 3x3 eksempler 

Eksempel på diagonaliserbar 3x3 matrix  

>	A1:=<<3,8,8>|<-1,-13,-15>|<1,8,10>>;

 

(1.1.1)

 

Karakteristisk polynoium, egenværdier og egenvektorer bestemmes med: 

>	CharacteristicPolynomial(A1,t);

 

(1.1.2)

 

>	Eigenvalues(A1);

 

(1.1.3)

 

>	Eigenvectors(A1);

 

(1.1.4)

 

I resultatet fra Eigenvectors er søjlen en liste af egenværdier ligesom i resultatet fra Eigenvalues, mens matricen angiver egenvektorerne som søjler. Maple er ikke så systematisk med den rækkefølge, egenværdierne opskrives i, som man kan se. Men i resultatet fra Eigenvectors kan man godt regne med at rækkefølgen af egenværdierne i søjlematricen svarer til rækkefølgen af søjlerne i den kvadratiske matrix, således at den første søjlesvarer til den første egenværdi osv. Lad os fx checke, at egenvektoren hørende til egenværdien -5 passer: 

>	A1.<0,1,1>;

 

(1.1.5)

 

Matricen A1 er diagonaliserbar, hvis den har en basis af egenvektorer. Det kan vi f.eks. checke ved Gausselimination 

>	Eigenvectors(A1)[2];GaussianElimination(%);

 

 

	(1.1.6)

 

(man skal være opmærksom på, at rækkefølgen af egenvektorer kan ændre sig fra linie til linie i Maple). Den koordinattransformationsmatrix der skifter til koordinater i egenvektorbasen er 

>	S1:=(Eigenvectors(A1)[2])^(-1);

 

(1.1.7)

 

I de nye koordinater bliver den lineære afbildning hørende til A1 repræsenteret af en diagonalmatrix: 

>	S1.A1.S1^(-1);

 

(1.1.8)

 

Ikke diagonaliserbart eksempel 

>	A2:=<<0,-2,-1>|<4,5,0>|<-3,-2,2>>;

 

(1.2.1)

 

>	Eigenvectors(A2);

 

(1.2.2)

 

Her angiver maple kun 2 egenvektorer. Matricen er IKKE diagonaliserbar. Grunden til at egenværdien 3 alligevel er nævnt 2 gange er fordi dens rodmultiplicitet er 2 (rodmultiplicitet bliver diskuteret ved forelæsning 6b).  

Diagonaliserbart eksempel med 2 identiske egenværdier 

En matrix kan sagtens have identiske egenværdier og være diagonaliserbar 

>	A3:=<<3,1,1>|<-1,1,-1>|<1,1,3>>;

 

(1.3.1)

 

>	Eigenvectors(A3);

 

(1.3.2)

 

A3 er diagonaliserbar, hvis de tre egenvektorer er lineært uafhængige. Vi kan checke det ved at forsøge at udregne den inverse 

>	S3:=(Eigenvectors(A3)[2])^(-1);

 

(1.3.3)

 

>	S3.A3.S3^(-1);

 

(1.3.4)