Gram-Schmidt 

Der findes i pakken LinAlg en kommando GramSchmidt , som vi illustrerer brugen af. 

Betragt de tre vektorer  

>	a1:=<1,2,0,-1>;a2:=<0,1/2,-1,3>; a3:=<-2,1,0,-1>;

 

>

 

 

 

	(1.1)

 

Gram-Schmidt ortogonalisering på disse vektorer giver 

>	GramSchmidt([a1,a2,a3]);

 

(1.2)

 

Bemærk, at første vektor er uændret. Ved Gram-Schmidt ortogonalisering afhænger resultatet af række følgen af vektorerne 

>	GramSchmidt([a2,a3,a1]);

 

(1.3)

 

Hvis man ønsker at ortonormalisere skal man tilføje normalized=true: 

>	GramSchmidt([a1,a2,a3], normalized=true);

 

(1.4)

 

eller  

>	T:=GramSchmidt([a2,a3,a1], normalized=true);

 

(1.5)

 

Bemærk igen, at rækkefølgen er vigtig. 

Hvis man vil checke om disse vektorer virkelig er ortonormale kan vi bruge kommandoen DotProduct . Vi benytter at vektorerne kan skrives 

>	[T[1],T[2],T[3]];

 

(1.6)

 

>	DotProduct(T[3],T[3]),DotProduct(T[2],T[3]);

 

(1.7)

 

Eller alle produkterne 

>	seq(seq(DotProduct(T[i],T[j]), i=1..3), j=1..3);

 

(1.8)

 

Koordinatskift.  

Hvis vi har en gammel basis ,..., ( for gammel) og en ny basis ,..., ( for ny) for et n-dimensionalt vektorrum, ønsker vi at finde den matrix 

S der skifter fra gamle koordinater til nye koordinater. Atlså den matrix, der opfylder at Sx=y, hvis  

+...+=+...+. Her er et eksempel udregnet i maple:  

Eksempel: Skift af koordinater mellem to vilkårlige baser i  

Find den matrix der skifter mellem koordinaterne i den gamle basis: 

>	unprotect(gamma):gamma[1]:=<1,0,1>;gamma[2]:=<1,2,-1>;gamma[3]:=<0,3,-1> ;

 

 

 

	(2.1.1)

 

til koordinaterne i den nye basis: 

>	nu[1]:=<1,1,1>; nu[2]:=<0,1,-1>; nu[3]:=<2,-4,3>;

 

 

 

	(2.1.2)

 

Ligningen kan skrives x= y, hvor  

>	unprotect(Gamma):Gamma:=<<1,0,1>|<1,2,-1>|<0,3,-1>>; N:=<<1,1,1>|<0,1,-1>|<2,-4,3>>;

 

 

	(2.1.3)

 

Derfor bliver  

>	S:=N^(-1).Gamma;

 

(2.1.4)

 

Husk at søjlerne i S er de nye koordinater til de gamle basisvektorer. F.eks. har altså de nye koordinater (3/5, 1/5,1/5).  

Det betyder at følgende udtryk er nulvektoren 

>	(3/5)*nu[1]+(1/5)*nu[2]+(1/5)*nu[3]-gamma[1];

 

(2.1.5)

 

Skift af matrixrepræsentation for endomorfi 

Hvis man har en endomorfi (en lineær afbildning fra et vektorrum ind i sig selv) vil den i en given basis være repræsenteret ved en kvadratisk matrix A. Hvis man nu skifter til en ny basis vil den nye matrix, der repræsenterer endomorfien være givet ved , hvor S er koordinattransformationsmatricen.  

 

Hvis man er givet to kvadratiske matricer, kan man spørge, om de kan repræsentere samme lineære afbildning og i givet fald, hvilken koordinattransformationsmatrix der fører den ene over i den anden. Matricer der kan repræsentere samme lineære afbildning kaldes similære og i Maple  

har man en kommando IsSimilar , (fra pakken LinearAlgebra ) til at afgøre om to matricer er det. 

>	A:=<<1|1>,<1|-1>>;B:=<<1|2>,<2|1>>;C:=<<0|3>,<1|2>>;

 

 

 

	(2.2.1)

 

>	IsSimilar(A,B);

 

(2.2.2)

 

>	IsSimilar(B,C);

 

(2.2.3)

 

Man kan også finde koordinattransformationsmatricen 

>	S0:=IsSimilar(B,C,output='C');

 

(2.2.4)

 

Når man skriver output='C' står C for Coordinate Transformation Matrix. Vi checker at  

>	S0.B.S0^(-1)-C;

 

(2.2.5)

 

>

 

>