\documentclass[12pt,pdftex]{article}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage[danish]{babel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{graphicx}
\newcommand{\inv}{^{-1}}
\parindent=0pt\parskip=\bigskipamount
\usepackage[colorlinks=true,urlcolor=blue,pdfpagemode=None]{hyperref}
\newcommand{\Q}{{\mathord{\mathbb Q}}}
\newcommand{\ee}{\underline{e}}
\newcommand{\RR}{{\mathord{\mathbb R}}}
\newcommand{\C}{{\mathord{\mathbb C}}}
\newcommand{\m}[1]{\underline{\underline{#1}}}

\begin{document}
\begin{center}
\Huge
\underline{\href{http://isis.ku.dk/kurser/index.aspx?kursusid=27393&xslt=simple6&param8=false&param1=199783}{LinAlg
  2008}}\\
Ugeopgave 6
\end{center}

Opgaven besvares individuelt. Besvarelsen skal afleveres i to ens og separat hæftede
eksemplarer til klasselæreren senest ved klassetimen 5.\ januar
2009. Der skal vedlægges en særlig
{\href{http://www.math.ku.dk/kurser/2008-09/blok2/linalg/FORSIDE/forside.pdf}{forside}}.

\begin{description} 
\item{6.1} Vi vil studere hvad der sker når man bevæger sig rundt på
  knuderne $A$, $B$ og $C$ på grafen
\begin{center}\includegraphics[width=5cm]{graf}
\end{center}
I
hvert skridt trækkes lod mellem de kanter der peger ud fra
den knude
man står på, og derefter følges den udtrukne kant til den
nye
knude. Står man f. eks. i $A$ er der 2 lige sandsynlige valg
nemlig
kanten til $B$ eller til $C$, der hver har
sandsynligheden
$\tfrac12$. Står man i $B$ trækkes lod mellem at blive
i $B$ eller gå
til $A$ eller $C$, hver med sandsynligheden
$\tfrac13$.
 Der oplyses, at hvis
sandsynligheden for at starte på
hver af de tre knuder er henholdsvis
$p_A$, $p_B$ og $p_C$, så er
sandsynligheden for at slutte i hver af
de tre knuder henholdsvis
$q_A$, $q_B$ og $q_C$
hvor
\[
\begin{pmatrix}q_A\\q_B\\q_C\end{pmatrix}=L\begin{pmatrix}p_A\\p_B\\p_C\end{pmatrix}
\]
med
\[
L\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\tfrac13x_2+\tfrac12x_3\\\tfrac12
x_1+\tfrac13x_2\\\tfrac12x_1+\tfrac13x_2+\tfrac12
x_3\end{pmatrix}.
\]
Bemærk at $L:\RR^3\to\RR^3$ er en lineær
afbildning.

\begin{description}
\item{(a)}
Find $L$'s egenværdier og
vis, at $L$ har en matrixrepræsentation ved
 en
diagonalmatrix.
\item{(b)}
Eftervis, gerne ved brug af Maple og
resultaterne fra (a), at der
gælder
\[
\ee_3\cdot\left(L^{\circ
n}(\ee_1)\right)={\frac {6}{13}}-\frac3{13}\, \left(
-\frac1{12}+\frac{\sqrt {13}}{12} \right) ^{n}-\frac3{13}
\left(
-\frac1{12}-\frac{\sqrt {13}}{12}\right) ^{n},
\]
hvor ``$L^{\circ
n}$'' betegner afbildningen der fremkommer ved at
sammensætte $L$ med
sig selv $n$ gange. Find en tilsvarende formel for
$\ee_3\cdot\left(L^{\circ n}(\ee_2)\right)$
\item{(c)} Vis
at
\[
\lim_{n\to\infty}\left[\ee_3\cdot\left(L^{\circ
n}(\ee_1)\right)\right]=\frac{6}{13}=
\lim_{n\to\infty}\left[\ee_3\cdot\left(L^{\circ
n}(\ee_2)\right)\right].
\]
Hvorfor kan dette fortolkes som at når
antallet af skridt
går mod uendelig, så er sandsynligheden for at
slutte i $C$ den samme
uanset om vi starter i $A$ eller
$B$?
\end{description}


\item{6.2}
\begin{description} 
\item{(a)} Find egenværdier og egenvektorer for matricen
\[
\m A=\begin{bmatrix}0&1&0\\-1&0&-2\\0&0&2\end{bmatrix}
\]

\item{(b)}
 Redegør for at der \textbf{ikke} findes en reel og regulær matrix $\m T$ så at
  $\m T\m A \m T\inv$ er en diagonalmatrix.
\end{description}
 Opgave 6.2 skal besvares helt uden henvisninger til
  beregninger i Maple, men det er naturligvis tilladt at bruge Maple
  som facitliste eller anden støtte undervejs.

\end{description}

\end{document}