Velkommen til kurset Matematik H1, F2005.
Der er forelæsninger mandag 11.40-13.20 i SPs12 og onsdag 9.50-11.30 i SPs07, første gang den 10. januar.
Forelæseren er Christian Berg, Københavns Universitet, Matematisk Afdeling (med kontor i H. C. Ørsted Institutet, lokale E108, tlf. 35320728), e-mail adresse : berg@math.ku..dk.
Der er endvidere 3 øvelseshold, her starter undervisningen i uge 2:
101A ved Jens Corfitzen <Jens.Corfitzen@econ.ku.dk> , mandag 9.50-11.30 og onsdag 11.40-13.20 (i forskellige lokaler, se studienævnets plan),
102B ved Kåre Madsen<kaare.madsen@tele2adsl.dk>, mandag 9.50-11.30 og tirsdag 8.00-9.40,
101C ved Erik Hansen <ehkal@dfif.dk> , mandag 13.30-15.10 og fredag 9.50-11.30.
Forbehold for ændringer! De vil ikke blive fulgt op her.
Som lærebøger benyttes:
[LA] Niels Vigand Pedersen: Lineær Algebra. Forelæsningsnoter udgivet af Matematisk Afdeling, Københavns Universitet 2000, 2. oplag 2004.
[MA1] K. Sydsæter: Matematisk Analyse, Bind 1, 7. udgave. Gyldendal Akademisk, Oslo 2000.
[MA2] K. Sydsæter, A. Seierstad og A. Strøm: Matematisk Analyse, Bind 2, 4. udgave. Gyldendal Akademisk, Oslo 2002. Nu sælges 4. udgave 2. oplag fra 2004. Begge kan bruges.
Til første oplag af [LA] er der opstillet en trykfejlsliste, som kan hentes her retla04.pdf. De nævnte rettelser er indført i 2. oplag.
TRYKFEJLSLISTE [LA]:
TRYKFEJLSLISTE [MA1]:
Analyse-bøgerne er skrevet på norsk, der har enkelte afvigelser fra dansk sprogbrug. Her er en liste over nogle "svære" ord (kan suppleres, hvis flere dukker op):
Derivasjon = differentiation. Huk = hak. Jamn = lige. Kjerneregelen = kædereglen. Kolonnene = søjlerne. Kontinuerlig = kontinuert. Linjene = rækkerne. Matrice = matrix. Merknad = bemærkning. Newton-kvotient = differenskvotient. Nå = nu. Odda = ulige. Røff = grov. Skjæringssætningen = mellemværdisætningen. Slik = således. Snu = vende om. Stigningstal = hældningskoefficient. Tillukningen = afslutningen (evt. aflukningen).
MEDDELELSER:
Hjemmesiden for efteråret 2004 ligger på adressen H1-E2004
Bytning af timer: Onsdag den 2. marts og torsdag den 3. marts bytter Bodil Olai Hansen og jeg timer så der er Erhvervs- og mikroøkonomi onsdag og matematik torsdag.
En række regnede eksamensopgaver stilles hermed til rådighed af Erik Hansen. Der tages forbehold for trykfejl. Det drejer sig om ialt 14 opgaver valgt ud fra årene 1998-2002. De kan printes ud som et word-dokument regnede opgaver
Et forslag til hvordan eksamenssopgaverne juni 2005 kan regnes gives i pdf-filen nedenfor. Besvarelse af H1-juni 2005
Et forslag til hvordan eksamenssopgaverne juli 2005 kan regnes gives i pdf-filen nedenfor. Besvarelse af H1-juli 2005
OVERORDNET PLAN for forårets forelæsninger, approksimativt: Gennemgang af [LA] , Kap. 4-7 i ugerne 2-8 incl. Dernæst gennemgang af manglende dele af [MA1] i ugerne 9-10 og derefter [MA2].
På denne hjemmeside opstilles en foreløbig plan for de kommende forelæsninger, der efterhånden justeres når forelæsningerne afvikles. Endvidere bringes en liste over de opgaver der stilles til øvelsestimerne, den vil blive ajourført løbende.
Forelæseren i dette kursus fra 2001 til 2003, Gert Kjærgård Petersen, skrev en supplerende tekst, hvor de topologiske grundbegreber (fx vedr. kontinuitet, og åbne og lukkede mængder) blev stringent formuleret, og sætninger såsom kædereglen for differentiation af funktioner af flere variable, og Young's sætning, blev bevist ved hjælp af middelværdisætningen. For den interesserede deltager gøres teksten tilgængelig her: gkp-topologi
GAMLE EKSAMENSSÆT: h1aug92 h1maj95 h1aug95 h1maj96 h1aug96 h1maj97 h1aug97 h1maj98 h1aug98 h1maj99 h1aug99
h1maj00 h1jul00 h1maj01 h1jul01 h1maj02 h1jul02 h1maj03 h1jul03 h1dec03 h1jun04 h1jul04 h1dec04 h1juni05 h1juli05
GENNEMGÅET STOF:
UGE 2: 10. og 12. januar: [LA] 4.1-4.4. Følgende begreber er indført:
10. januar: vektorrum, lineær afbildning f:U->V, isomorfi.
12. januar: Dimension, basis, underrum, span(M), kerne og billedrum for lineær afbildning.
UGE 3: 17. og 19. januar [LA] Jeg starter med at regne eksempel 4.4.9. Derefter gennemgås paragrafferne 4.5-4.7.
17. januar: Gennemgik begreberne lineær afhængighed og uafhængighed. De vigtigste sætninger er 4.5.3 og 4.5.9. Husk også: I et vektorrum V af dimension n er der højst n lineært uafhængige vektorer. En basis er det samme som et lineært uafhængigt sæt der udspænder vektorrummet og også det samme som et maksimalt lineært uafhængigt sæt.
Husk også følgende sprogbrug ved linære ligningssystemer og matrix reduktion: Frie og bundne variable. De variable der svarer til søjlenumrene med ledende ettaller (= trinpositionerne)
er de bundne variable. De variable der svarer til de andre søjler er frie variable.
19. januar: Jeg regnede eksempler på udtynding af et sæt af vektorer til et lineært
uafhængigt delsæt og udvidelse af et lineært uafhængigt sæt til en basis for rummet.
Paragraf 4.7 blev kun kort berørt. Jeg vil regne eksempler angående denne paragraf på
mandag den 24. januar.
UGE 4: 24. og 26. januar [LA] Eksempel 4.7.5 regnes. Derefter 4.8, 5.1, 5.2.
24. januar: Afsluttede 4.8 og begyndte en smule på 5.1.
26. januar: Afsluttede 5.1 og 5.2.
UGE 5: 31. januar og 2. februar (flyttet til 3. februar, se meddelelser) [LA] 5.3, 5.4, 6.1.
31. januar: Jeg afsluttede 5.3 og 5.4. Jeg gjorde en del ud af at se på differentiation
som en lineær afbildning D fra Pol_2(R) til Pol_1(R) [Pol_k(R) er vektorrummet af polynomier af grad højst k, som har dimension k+1]. Se dens matrix i forskellige baser:
matrixfremstilling
Derefter definerede jeg egenvektorer og egenværdier og gjorde opmærksom på, at en drejning af planen (opfattet som vektorrummet R^2) på 60 grader er en lineær afbildning uden egenvektorer, da en vektor og den drejede aldrig kan være proportionale. En drejning på 180 grader har derimod egenværdien -1 og alle vektorer er egenvektorer.
3. februar: Jeg afsluttede 6.1 og begyndte på 6.2. Jeg nævnte følgende regel til at finde heltallige rødder i et polynomium med heltallige koefficienter og koefficient 1 til højestegradsleddet: Hvis et helt tal er rod så må det gå op i konstantleddet:
Eksempel 1: x^2+x-6: Eventuelle heltallige rødder er divisorer i -6, altså +/- 1,2,3,6.
Ved efterprøvning ser man at 2 og -3 er rødder. En divisor behøver altså ikke være rod.
Eksempel 2: x^3-6x^2+9x-2: Eventuelle heltallige rødder er divisorer i -2, altså
+/- 1,2. Ved efterprøvning ses at 2 er rod. Vi kan så dividere polynomiet med x-2 og får
omskrevet polynomiet til (x^2-4x+1)(x-2). De resterende rødder kan så findes som rødder til
x^2-4x+1, som ikke har nogen heltallige rødder, men rødderne er 2+/- kvadratrod(3).
Eksempel 3: x^3+4. Ingen af de mulige divisorer i 4 er rødder.
UGE 6: 7. og 9. februar [LA]: 6.2-6.4, 7.1.
7. februar: Jeg afsluttede kapitel 6 idet jeg ikke gennemgik beviserne for Sætningerne
6.2.3 og 6.3.1. Bemærk at de to sætninger er hinandens omvendte sådan at de tilsammen giver en fuldstændig karakterisering af diagonaliserbare matricer.
9. februar: Jeg redegjorde for at et polynomium af ulige grad (dvs 1,3,5,...) har en rod og at det medfører, at en 3x3-matrix, en 5x5-matrix osv. altid har en egenværdi.
Derefter introducerede jeg vektorrum med skalarprodukt (7.1) og gennemgik Gram-Schmidt ortogonalisering.
UGE 7: 14. og 16. februar [LA]: 7.2-7.4.
14. februar: Jeg gennemgik eksempler på Gram-Schmidt metoden og talte derefter om ortogonale matricer og ortogonal projektion.
16. februar: Jeg gennemgik diagonalisering af symmetriske matricer: En sådan er altid diagonaliserbar.
UGE 8: 21. og 23. februar [LA]: 7.5, [MA1]: 6.5,6.6.
21. februar: Jeg gennemgik kvadratiske former. Det vil være et vigtigt hjælpemiddel når vi når til lokalt max/min af funktioner af n variable, idet positiv definithed af Hessematricen (matricen af de anden partielle afledede) vil svare til betingelsen f''(x)>0 for funktioner af 1 variabel.
UGE 9: 28. februar, 2. marts (flyttet til 3. marts, se meddelelser): [MA1]: 8.4, 8.5, 12.5, 12.6. I 12.6 springes ting over vedrørende differentialer, så der gennemgås kun til side 450 eksempel 3.
UGE 10: 7. marts og 9. marts: [MA1]. 12.8; [MA2]: 4.1, 4.2
7. marts: Jeg startede med at give Taylors formel for funktioner af en variabel. Det står i [MA1] side 255-258. Det er nødvendigt for at forstå det tilsvarende i flere variable, som
behandles i 12.8. For at forstå hvad der foregår er det nødvendigt at huske kædereglen
(norsk kjernereglen-den mest generelle findes side 407).
9. marts: Vi påbegynder [MA2]: Afsnit 4.1 og 4.2. Jeg startede med at repetere begreberne åbne og
afsluttede (lukkede) mængder. Derefter gennemgik jeg gradient og retningsafledet. Et vigtigt
resultat er, at gradienten for en funktion er vinkelret på funktionens niveau(hyper)flader.
Derefter forklarede jeg begrebet konveks mængde, som har mening i ethvert vektorrum. Konveksitet er de sidste 30 år blevet et nøglebegreb i matematisk økonomi efter den danske matematiker Werner Fenchels grundlæggende forelæsningsnoter fra Princeton i 1950'erne.
UGE 11: 14. marts: Timerne afholdes af min kollega Bergfinnur Durhuus. Han vil gennemgå
[MA2] afsnit 4.5 om konkave og konvekse funktioner I. Det vil være en god ide at genopfriske
Note 2 af 10.11.04 af Gerd Grubb (kan findes på efterårets hjemmeside hvis du har forlagt den).
16. marts: Timerne afholdes af Gerd Grubb, som vil regne følgende eksamensopgaver-det vil være lærerigt at prøve at regne dem selv forinden: Maj 95 nr. 5; Aug. 97 nr. 1;
Aug. 96 nr. 7; juli 2001 nr. 2; juli 2004 nr. 4. (Med forbehold for hvor mange af opgaverne der nås).
UGE 12: 21. og 23. marts (jvfr. email fra sekretariatet om timer i uge 12): Der gennemgås 4.3 om kvadratiske former, som næsten er en repetition af afsnittet i [LA] og derefter gøres 4.5 færdig og 4.6 påbegyndes. Lidt om notationen: Hessematricen for en funktion f af n variable kan betegnes H_f(x) eller f''(x). Det ij'te element i Hessematricen er den anden partielle afledede af f mht i'te og j'te variabel. Jensen (1859-1925) er en meget berømt dansk matematiker som blev teknisk direktør for KTAS.
UGE 13: 30 marts: [MA2]: 6.1, 6.2, 6.3. Jeg mindede om at et integral repræsenterer arealet under grafen og at integration og differentiation er inverse regneoperationer. Da et integral er grænseværdier af summer (de såkaldte middelsummer) er det ikke overraskende at man kan differentiere et integral der afhænger af en parameter ved at differentiere under integraltegnet, altså at d/dx(int_a^b f(x,t)dt)=int_a^b (d/dx(f(x,t))dt. Dette er et specialtilfælde af Leibniz' formel (side 160) når u(x)=a, v(x)=b for alle x, for så forsvinder de to første led da u'(x)=v'(x)=0. Jeg gennemgik også Gammafunktionen og nævnte Bohr og Mollerups vidunderlige signalement af Gammafunktionen fra 1922: Der findes kun en funktion f:]0,uendelig[->]0,uendelig[ med følgende tre egenskaber:(a): f(1)=1, (b): f(x+1)=xf(x), (c): ln f(x) er konveks. Hvis man møder en sådan funktion må det altså være Gammafunktionen.
UGE 14: 4. og 6. april: [MA2]: 6.4, 6.5, 8.1
4. april: Jeg gennemgik det meste af 6.4 og 6.5. Det der kaldes en nyttig formel side 174 mener jeg ikke er så nyttigt, så det kan I springe over.
6. april: Jeg vil regne afsnit 6.5 opg. 2 som er relateret til eksempel 1 side 172-173.
Derefter gennemgås 8.1.
UGE 15: 11. og 13. april: [MA2]: 8.2, 8.3, herefter repetition/opgaver
11. april. Jeg afsluttede 8.2 og 8.3. Som ekstra eksempel regnede jeg opgave 8 i
[MA1] kapitel 13.2.
13. april. Jeg regnede eksamensopgaverne Juli 2004 no. 1 og Juni 2004, no. 2
(men blev ikke helt færdig med sidste spørgsmål) som udgangspunkt for repetition, idet jeg opsummerede de ting, man skal bruge for at regne opgaverne.
UGE 16: 18. og 20. april: repetition/opgaver: Jeg gør Juni 2004 no 2 færdig og fortsætter med Juni 2004 no 4 og 6. Derefter regnes så mange fra Maj 2003, som jeg kan nå.
Ekstra time, 25. maj, kl. 9.50-11.30 i SPs07, jvfr. email fra Lene Thede 8.3. Opgaveregning og spørgsmål.
OPGAVER TIL ØVELSESTIMERNE
UGE 2, 2005, Øvelsesopgaver fra [LA]: 62, 63, 64, 65, 66, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75.
Aflevering: [LA] Hjemmeopgaver 14, 16.
UGE 3, 2005, Øvelseopgaver fra [LA]: 87, 88, 89, 90, 91, 93, 96, 97, 100, 101, 102, 105.
Aflevering: [LA] Hjemmeopgaver 17, 18.
UGE 4, 2005, Øvelsesopgaver fra [LA]: 98, 99, 103, 104, 106, 107, 109, 110, 112.
Aflevering: [LA] Hjemmeopgaver 20, 21.
UGE 5, 2005, Øvelsesopgaver fra [LA]: 94, 95, 113, 114, 115, 116, 117 (a)-(d), 118,
samt følgende ekstra opgave: Svar ja/nej til følgende 4 spørgsmål. Hvis du svarer ja så giv et eksempel, hvis du svarer nej så begrund dit svar.
(1) Findes der en injektiv lineær afbildning f:R^3->R^5?
(2) Findes der en surjektiv lineær afbildning f:R^3->R^5?
(3) Findes der en injektiv lineær afbildning f:R^5->R^3?
(4) Findes der en surjektiv lineær afbildning f:R^5->R^3?
Aflevering: [LA] Hjemmeopgaver 22, 23.
UGE 6, 2005, Øvelsesopgaver fra [LA]: 117 (e)-(h), 119, 120, 121, 122, 123, 124, 126, eksopg. juni 2004 no.1.
Aflevering: [LA] Hjemmeopgaver 24,25.
UGE 7, 2005, Øvelsesopgaver fra [LA]: 127, 128, 129, 130, 131, 133, Blandede opgaver:
4,15 samt ekstraopgave 1
Klik her
Aflevering: [LA] Hjemmeopgaver 28,30.
UGE 8, 2005, Øvelsesopgaver fra [LA]: 132, 134, 135, 136, 137, 138, 139, 141 samt ekstraopgave 2
Klik her
Aflevering: [LA] Hjemmeopgaver 31, 33.
UGE 9, 2005, Øvelsesopgaver fra [LA]: 140, 142, 144, 145, 146. Blandede opgaver: 7.
[MA1]: Afsnit 6.5 opg. 1, 2(a),(b), 3. Afsnit 6.6 opg. 2.
Aflevering: [LA] Hjemmeopgaver 32, 34.
UGE 10, 2005, Øvelsesopgaver fra [MA1]: Afsnit 8.4 opg. 1,2,3,4,5, afsnit 8.5 opg. 3,5,
afsnit 12.5 opg. 1,5, afsnit 12.6 opg. 2.
Aflevering: Eksamensopgaver juli 2004 no. 2,3.
UGE 11, 2005, Øvelsesopgaver fra [MA1]: Afsnit 12.6 opg. 1 (a)-(c), afsnit 12.8 opg. 1,3, [MA2]: Afsnit 4.1 opg. 1, 2, 3, 5, 7, afsnit 4.2 opg. 1,2.
Aflevering: Eksamensopgaver Juni 2004, no. 3,5.
UGE 12, 2005. Officielt er der ingen øvelser i den uge med mindre andet er aftalt med læreren.
UGE 13, 2005. Mandagen er 2. påskedag så der er kun to timer. Øvelsesopgaver fra
[MA2]: Afsnit 4.2 opg. 3, 4, 5, 6; Afsnit 4.5 opg. 1, 2.
Aflevering: [MA2]: Afsnit 4.3 opg. 3.
UGE 14, 2005, Øvelsesopgaver fra [MA2]: Afsnit 4.5 opg. 3, 4 (vink: Brug Sætning 4.5.4),
opg. 6 (vink: Lad være med at regne Hessematricen ud. Kig i stedet på Gerd Grubbs note 1
fra 20.10.04). Opg. 7, samt ekstraopgave 3:
Klik her
Afsnit 4.6 opg. 1, Afsnit 6.1 opg. 1 (a),(b), opg. 3 (a), (c).
Aflevering: Ekstraopgave 4:
Klik her
UGE 15, 2005, Øvelsesopgaver fra [MA2]: Afsnit 6.2 opg. 1,3; afsnit 6.3 opg. 2;
afsnit 6.4 opg. 1 (a),(b), opg. 2; afsnit 6.5 opg. 1,3,5; afsnit 8.1 opg. 1.
Aflevering: Afsnit 6.1, opg. 3(d) og opg. 4.
UGE 16, 2005, Øvelsesopgaver fra [MA2]: Afsnit 8.1: opg. 3, afsnit 8.2 opg. 1,2,3, afsnit 8.3 opg. 2.4. Eksamensopg. juli 2004 no. 5,6. Samt følgende ekstraopgave: Lad f(x,y)=x^2+(xy-1)^2. Vis at (0,0) er det eneste sstationære punkt og at det er et sadelpunkt. Vis at f(R^2)=]0,uendelig[, så f er nedad begrænset ved 0 uden at have globalt minimum.