Ikke-kommutativ Geometri – Københavns Universitet

Videresend til en ven Resize Print Bookmark and Share

Institut for Matematiske Fag > Forskning > Topologi, funktionalanalyse og algebra > Ikke-kommutativ Geometri

Ikke-kommutativ Geometri

ncg

For mere information henvises til forskergruppens engelske side.

 Nedenfor er en kort introduktion til emnet.

Disse to billeder har faktisk noget til fælles men hvad?

 

torusmatematisk mønster

Svaret på dette spørgsmål gives gennem matematik. Matematik er meget mere end blot at lægge tal sammen eller finde punkter på en cirkel. Det er og har altid været et meget vigtigt værktøj, som alle videnskabsfolk bruger til at analysere strukturer, der ikke kan observeres direkte. Men i takt med at vor forståelse af verden omkring os vokser, vokser kravene til de værktøjer vi bruger - og dermed til matematikken.

Et af de nyeste værktøjer kaldes ikke-kommutativ geometri. For at forstå hvad det handler om, må vi betragte billederne herover igen. Hvis man omhyggeligt følger linjen på baderingen til venstre vil man se at den aldrig rører et punkt på overfladen mere end en gang. Med andre ord ser det kun ud som om linjen kommer tilbage til sit udgangspunkt. Ser man på mønstret ved siden af, ser det ved første øjekast ud som om det gentager sig selv. Først ved nærmere eftersyn kan man finde små forskelle. Igen ser det ud som om der er symmetri, men i virkeligheden er der ingen sådan.

Billederne herover er computergenererede og kunne derfor med nogen rimelighed opfattes diffraktionsmønstersom blot et leg uden noget formål. Men billedet ved siden af teksten her er et virkeligt såkaldt "diffraktionsmønster", som kan opnås ved at sende lys gennem et krystallinsk materiale som salt. Havde man vist det til en kemiker for 25 år siden, ville han ikke have troet, at det var ægte. På det tidspunkt havde man en forståelse af, at naturen kun producerer et begrænset antal af 100% symmetriske mønstre. Men i takt med at kemikere udviklede nye og mere komplekse materialer, opdagedes "abnorme mønstre". Sådanne mønstre er igen næsten symmetriske, men dannet ud fra naturligt forekommende materialer såsom sofistikerede metallegeringer. Faktisk er det krystallignende billede herover en repræsentation af en menneskeskabt legering, der frembringer diffraktionsmønstret her.

Det er af stor betydning for videnskabsfolk at kunne forstå og forklare sådanne næsten-symmetrier således at man kan arbejde videre med dem. Det viser sig dog, at det kræver en ny måde at tænke på rum at tilfredsstillende forklare disse fænomener. Problemet er at på mikroskopisk niveau bliver vort traditionelle afstandsbegreb utilstrækkeligt. For eksempel er det i en vis forstand ikke muligt at på samme tid bestemme både længde og højde af en lille kasse.

En matematiker beskriver denne situation ved at sige, at rumkoordinaterne af længde og højde ikke kommuterer. Selv ideen om et punkt som en meget veldefineret prik på en overflade må forkastes. I stedet arbejdes med "fuzzy points", hvis to koordinater ikke kan angives samtidig. Som en konsekvens heraf kan selv meget simple rum, som videnskabsfolk traditionelt har behandlet som enkeltstående punkter, have flere forskellige geometriske strukturer.

Dette har en lang række uventede konsekvenser. For eksempel vil en ikke-kommutativ bergerons skytelescoperumstruktur ændre forståelsen af tid. Tid har ellers altid været opfattet som uafhængig af rum, men "fuzzy" ikke-kommutative strukturer kræver, at tid opfattes som skabt af rum. Dette kan illustreres nærmere ud fra den sidste figur, der fremstiller et roterende sort hul. Astronomerne fortæller os, at tæt ved et sådant uhyrligt objekt bevæger tiden sig anderledes end i det sædvanlige rum på grund af hullets enorme masse, og at hvis man holder sig passende langt væk fra det, så vil tiden være "normal" igen. Ifølge ikke-kommutativ geometri har et hvilket som helst rum samme effekt på tiden uden at masse spiller nogen rolle heri, og denne egenskab rækker langt i forhold til at forklare visse selvmodsigelser i moderne fysik.

Ikke-kommutativ geometri er en relativt nyudviklet disciplin, som for omtrent 20 år siden skabtes ud fra et ønske om at finslibe visse modeller for fænomener på atomart niveau, som de næsten-symmetriske diffraktionsmønstre herover. Da fysikere og kemikere begyndte at trænge dybere ind i naturen, syntes deres resultater at være mere og mere selvmodsigende, når de behandledes med de klassiske matematiske metoder. Men naturen modsiger jo ikke sig selv, så dette betyder, at disse gamle værktøjer er utilstrækkelige og at bedre metoder, så som ikke-kommutativ geometri, må udvikles.

Ikke-kommutativ geometri kræver en mere holistisk og universel tilgang til matematik. Matematikere fra forskellige og traditionelt adskilte fagområder må arbejde sammen for at kunne dække de forskellige aspekter knyttet til de ovenfor beskrevne tilsyneladende selvmodsigelser. Samtidigt nærmer matematik sig også moderne fysik og kompletteres med en mere eksperimentel tilgang.